Kohomoloji gruplarının tanımı nedir?

Question

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz lütfen.

Comments

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun onaltıncısı. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

Answer 1

Kohomoloji gruplarının birbirine denk pek çok farklı tanımı bulunmakta. Biz, Neukirch'i takip ederecek, ondördüncü soruda tanımladığımız standart çözünümü kullanacağız. En kısa tanım olarak şu söylenebilir. $G$-modül $A$'nın $r$'inci kohomoloji grubu $G$'nin standart çözünümüne $Hom(\cdot,A)$ işlemi uygulanarak elde edilen net diziye $\cdot^G$ işlemi uygulanarak elde edilen zincirin $r$'inci kohomoloji grubu olarak tanımlanır. Şimdi bu kısa kohomoloji (üstelik içinde yine kohomolojiye referans verme gafletine düşen) tanımını açalım. 

Elimizde standart çözünümümüz aracılığıyla elde ettiğimiz, serbest $G$-modüllerden oluşan şu net dizi (exact sequence) var

$$\cdots\stackrel{d_{-3}}{\longleftarrow}X_{-3}\stackrel{d_{r-2}}{\longleftarrow} X_{-2}\stackrel{d_{-1}}{\longleftarrow}X_{-1}\stackrel{d_0}{\longleftarrow}X_0\stackrel{d_1}{\longleftarrow}X_1\stackrel{d_2}{\longleftarrow}X_2\stackrel{d_3}{\longleftarrow}\cdots$$ Bu dizye $Hom(\cdot,A)$i şlemi (bazen fonktör de denir İngilizce functor kelimesine Türkçe karşılık olarak!!) uygulanarak $$\cdots\stackrel{d_{r-2}^*}{\rightarrow} Hom(X_{-2},A)\stackrel{d_{-1}^*}{\rightarrow}Hom(X_{-1},A)\stackrel{d_0^*}{\rightarrow}Hom(X_{0},A)\stackrel{d_1^*}{\rightarrow}Hom(X_{1},A)\stackrel{d_2^*}{\rightarrow}\cdots$$ dizisi elde edilir ve bu dizi net bir dizidir (bakınız onbirinci soru). Şimdi bu dizideki grupların sabit noktalarını alırsak şu diziyi elde ederiz (bakınız altıncı soru): $$\cdots\stackrel{d_{r-2}^*}{\rightarrow} Hom_G(X_{-2},A)\stackrel{d_{-1}^*}{\rightarrow}Hom_G(X_{-1},A)\stackrel{d_0^*}{\rightarrow}Hom_G(X_{0},A)\stackrel{d_1^*}{\rightarrow}Hom_G(X_{1},A)\stackrel{d_2^*}{\rightarrow}\cdots$$ Gelgelelim ki gelgelelim, bu dizi bir zincir olsa da (çünkü aradaki morfizmalar önceki morfizmların bir altgrbuba kıstırmalarıyla elde ediliyor ve bileşkeleri sıfır) artık net olmak zorunda değil. Bu nedenle $$\ker(d_i^*)/im(d_{i-1}^*)$$ grubu net dizilerde olduğu gibi sıfır olmak zorunda değildir. Bu grup $G$-modül $A$'nın $i$'inci kohomoloji grubu olarak adlandılır ve eğer $\ker (d_i)=Z_i$ ve $im(d_{i-1}=R_i)$ olarak gösterirsek şu şekilde gösterilir: $$H^i(G,A):=Z_i/R_i$$

Neukirch'in kitabından alıntı: $q\geq 1$ için tanımlanmış $H^{-q-1}(G,A)$ kohomoloji grupları, genel olarak $H_q(G,A)$ ile gösterilen homoloji gruplarına eşittir. Cebirsel topolojide $\mathbb{Z}$ katsayılı kohomoloji grupları ilk başlarda homoloji gruplarının karakter grupları olarak tanımlanmışlardı. Kohomoloji gruplarının bu tarihsel kökünün izi, bizim tanımımızda kullandığımız dizinin sol tarafının sağ tarafın dualize edilmesiyle elde edilmesinde görülebilir (bakınız buradaki ikinci yanıt). Bu iki diziyi tek bir tam çözünüm dizisinde birleştirmek homoloji gruplarını negatif boyutlu kohomoloji grupları olarak görmeyi sağlamıştır ve bu bakış açısı yalnızca formal bir birleşimden çok daha fazlasıdır ve önemli sonuçlar doğurmuştur. Homoloji ve kohomoloji gruplarının bu füzyonu J. Tate'e aittir.

Answer 2

Diğer yanıtta kohomoloji gruplarının tanımını tam olarak vermiş olsam da, açık açık nasıl hesaplanabileceğini tam olarak belirtmemiştim. Şimdi, bunu yapacağız. Esasen burada bulacağımız kohomoloji grupları, kohomoloji gruplarının tanımı olarak da verilerbilir. Örneğin S. Shatz'ın Profinite Groups, Arithmetic and Geometry kitabında bir önceki yanıt aracılığıyla burada bulacağımız gruplar kohomoloji gruplarının tanımı olarak verilmekte. Çeşitli başka kitaplarda da Neukirch'in kullandığı stardart çözünüm yerine daha genel olarak izdüşümsel çözünümler kullanılmakta. Ama önünde sonunda herkes, bizim bu yanıttın sonunda kohomoloji grubu diye bulduğumuz grupları bulmakta.

Öncelikle notasyon kolaylığı için

$$A_r=A_{-r-1}=Hom_G(X_r,A)$$ gösteriminde uzlaşalım. $((Hom_G(X_r,A)=Hom_G(X_{-r-1},A))$ eşitliğinin de ayrımında olun, adamı gıcık etmeyin. $X_r$, tam serbest çözünüm nedir sorusundaki yanıtta tanımlanmıştı: $G^r$'nin elemanlarıyla serbest biçimde üretilen $\mathbb{Z}[G]$-modül. Bir $G$-modül homomorfizması $G$-çarpmasıyla değişmeli olacağı için, $X_r$'den çıkan bir $G$-modül homomorfizması üreteçlerindeki değerleriyle tek türlü belirlenir. Buradan çıkan sonuç şudur. $X_r$'dan $A$'ya giden her $G$-homomorfizması $G^r$'den $A$'ya bir sıradan bir fonksiyon tanımladığı gibi $G^r$'den $A$'ya giden her sıradan fonksiyon da $X_r$'den $A$'ya giden bir $G$-homomorfizması tanımlar. Yani, eğer $G^r$'den $A$'ya giden fonksiyonları $C(G^r,A)$ ile gösterirsek,  elimizde üreteçlere kıstırmak marifetiyle tanımlanan şöyle bir izomorfizma var: $$A_r=A_{-r-1}=Hom_G(X_r,A)\simeq C(G^r,A)\qquad r\geq 1$$ O halde kohomoloji gruplarını $C(G^r,A)$ gruplarını kullanarak da hesaplayabiliriz. Ama öncelikle $A_0=A_{-1}$ gruplarının yerine ne koyacağımızı belirlemeliyiz. Burada da işler kolay. Bu gruplar $1$ tarafından üretilen serbest $\mathbb{Z}[G]$-modülnden $A$'ya giden $G$-homomorfizmalar, dolayısıyla $1\in G$'in görüntüsü tarafından tamamen belirlenirler. Bu da $f\longmapsto f(1)$ grup homomorfizması $$A_0=A_{-1}=Hom_G(\mathbb{Z}[G],A)\simeq A$$ izomorfizmasını verir. Son olarak, gruplarımızı bu izomorfik kopyalarıyla değiştirdiğimizde grupları birbirine bağlayan $d_i^*$ homomorfizmalarımıza denk gelecek $\delta_i$ homomorfizmalarının ne olduğunu bulmalıyız. Öncelikle $d_i^*$ homomorfizmasının ne olduğunu anımsayalım: $$A_i\simeq Hom_G(X_i,A)\ni f\stackrel{d_i^*}{\longmapsto} f\circ d_{i+1}\in Hom_G(X_{i+1},A)\simeq A_{i+1}$$ Önce $\delta_0$'ı hesaplayalım. $a\in A_{-1}=A$ olsun. Bu durumda $Hom_G(X_{-1}),A$ içinde $a$'ya denk gelen (yukarıda anlattığımız izomorfizma aracılığıyla) $G$-homomorfizması $f$, $1$'i $a$'ya gönderen $G$-homomorfizmasıdır. $f$'nin görüntüsü de doğal olarak $f\circ d_0$'dır. $d_0(1)$ ise $N_G$ olarak tanımlanmıştı (Bkz: buradaki ilk yanıt). Bu da demek oluyor ki $a$'nın görüntüsü $N_G\cdot a$. Sonuç: $$a\stackrel{\delta_0}{\longmapsto}N_G\cdot a$$ Diğer $\delta_i$'ler de benzer biçimde yaklaşımla hesaplanabilir. Burada hesaplanmışı var:

1. $x\in A_0=A$ için $(\delta_1x)(\sigma)=\sigma x-x$. Ufacık bir açıklama. $\delta_1 x$ tanım gereği $Hom(G,A)$ grubunun bir elemanı olmalı. Bu nedenle $\delta_1x$'i tanımlamak için $\sigma\in G$'deki görüntüsünü tarif ediyoruz. Diğer kısımlarda da aynı yöntemi uyguluyoruz.
2. $r\geq 1$ ve $x\in A_{r-1}$ için $$\delta_rx(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)=\sigma_1x(\sigma_2,\cdots,\sigma_r)\\+\sum_{i=1}^{r-1}(-1)^ix(\sigma_1,\cdots,\sigma_i\sigma_{i+1},\sigma_{i+2},\cdots,\sigma_r)\\+(-1)^rx(\sigma_1,\cdots,\sigma_{r-1})$$
3. $x\in A_{-2}$ için $$\delta_{-1}x=\sum_{\sigma\in G}(\sigma^{-1}x(\sigma)-x(\sigma))$$
4. $r\geq 0$ ve $x\in A_{-r-2}$ için $$\delta_{-r-1}x(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)=\sum_{\sigma\in G}\Big[\sigma^{-1}x(\sigma,\sigma_1,\cdots,\sigma_r)\\\sum_{i=1}^{r}(-1)^i(\sigma_1,\cdots,\sigma_{i-1}\sigma_i\sigma,\sigma^{-1},\sigma_{i+1},\cdots,\sigma_r)\\+(-1)^{r+1}x(\sigma_1,\cdots,\sigma_r,\sigma)\Big]$$

Özet: $$H^i(G,A)=\ker (\delta_{i+1})/im(\delta_i)$$

Artık, ufak boyutlu kohomoloji gruplarını hesaplayabilecek duruma gelmiş bulunmaktayız.

Comments

Standard terminolojide bu tanımladığın kohomoloji gruplarına Tate kohomoloji grubu deniyor, normal pozitif grup kohomolojisi ile karışmasın diye. Özellikle sıfırıncı boyutta bu ayrım çok önemli. Genellikle $\widehat H ^n ( G, A )$ diye ifade ediliyor. Bu notasyonu kullan demiyorum sadece not düşmek istedim.

Bu arada, bu sorular yazma cabanı takdirle karşılıyorum. Bu kadar şeyi nasıl yazabiliyorsun hayran kaldım..

Son bir not, bu verdiğin tanım ile yüksek boyutlarda kohomoloji hesaplamak neredeyse imkansız oluyor (bilgisayar ile bile) o yüzden standard olmayan çözünümlere de bakmak gerekiyor. Burada özellikle devirli gruplara bakmak faydalı. Son son not: Gelecek nesiller için $G$'nin sonlu grup olduğunu burada da belirtmek faydalı olabilir zira Tate kohomolojisi sadece sonlu gruplar için tanımlı. 

Bütün sorularını daha tam okuyamadım bunları başka yerde belirttiysen kusura bakma..

---

Ben konunun uzmani olmadigim icin belli bir kaynaga bagli kalmayi tercih ettim ve sayilar teorisi aliskanligindan Nuekirch'i sectim.

Ilk soruda $G$'nin sonlu bir grup oldugunu belirtmistim. Sorular bittikten sonra bastan sona bir elden gecirip, biraz daha takip edilerbilir bir hale getirmeye calisacagim. Linkleriyle falan.