Bu yanıt, Neukirch'in Bonn Dersleri kitabının ilgili kısmının detaylandırılmış biçimde aktarımıdır.
Tam serbest çözünüm kohomoloji gruplarını tanımlamak için kullanılan bir alettir.
G sonlu bir grup olsun. G'nin tam serbest çözünümü aşağıdaki biçimde ve aşağıdaki şartları sağlayan iki adet net diziden oluşur. Birinci dizi: 0⟵Zϵ⟵X0d1⟵X1d2⟵X2d3⟵⋯
İkinci dizi:
⋯d−3⟵X−3dr−2⟵X−2d−1⟵X−1μ⟵Z⟵0
ve iki diziyi birbirine bağlayan
d0:X0⟶X−1.
Şartlar:
-
Xi'lerin hepsi serbest G-modül (yani bir G-modül izomorfizmasıyla Z[G]'lerin direk toplamına izomorf);
-
ϵ,μ,di'lerin hepsi G-modül homomorfizması (Tanım için buraya tıklayın);
-
d0=μ∘ϵ
-
Net olmaktan söz edilebilen her yerde netlik var. Yani kerdi=im(di+1), i∈Z ve ek olarak ker(ϵ)=im(d1), im(ϵ)=Z, vesaire.
Örnek: Bu örnek, kökleri topolojide olan bir tam serbest çözünüm örneği. Standart çözünüm (Standard resolution) olarak adlandırılır.
Öncelikle
Xi'leri tanımlamamız gerek.
r≥1 için
Xr ve
X−r−1 grubu,
Gr kümesi üzerinde serbestçe üretilmiş serbest
G-modül olsun. Yani, tanım gereği
Xr=X−r−1=⨁(σ1,⋯,σr)∈GrZ[G](σ1,⋯,σr)
r=0 için de tanımı
X0=X−1=Z[G]
ile veriyoruz. Açık ki, her
r∈Z için
Xr serbest
G-modülü.
X0 ve
X−1 için serbest üreteç olarak
1 alındı. Şimdi bu modülleri ilişkilendiren
G-modül morfizmalarını tanımlayacağız. Tanım biraz karışık gözükse de, korkutucu olmamalı. Çünkü pek çok durumda küçük boyutlar için yapılan hesaplamalar diğer boyutlar için de yeterli olacaktır (bkz:
boyut öteleme -dimension shifting).
Nasıl ki bir vektör uzayı üzerinde lineer bir fonksiyon tanımlamak için fonksiyonu baz üzerinde tanımlamak yeterliyse, serbest bir G modül üzerinde bir G-homomorfizması tanımlamak için fonksiyonu baz üzerinde (serbest üreteçler) tanımlamak yeterli. Biz de öyle yapacağız.
-
d0(1)=NG (NG'nin tanımı için buraya bakınız);
-
d1(σ)=σ−1
-
r≥2 için dr(σ1,⋯,σr)=σ1(σ2,⋯,σr)+r−1∑i=1(σ1,⋯,σi−1,σi⋅σi+1,σi+2,⋯,σr)+(−1)r(σ1,⋯,σq−1)
-
d−1=∑σ∈G[σ−1(σ)−(σ)];
-
−r−1≤−2 için d−r−1(σ1,⋯,σr)=∑σ∈Gσ−1(σ,σ1,⋯,σr)+∑σ∈Gr∑i=1(−1)i(σ1,⋯,σi−1,σiσ,σ−1,σi+1,⋯,σr)+∑σ∈G(−1)r+1(σ1,⋯,σr,σ)
Son olarak
ϵ ve
μ fonksiyonlarını tanımlamalıyız:
ϵ:X0=Z[G]⟶Z fonksiyonunu artış fonksiyonu,
μ:Z⟶X−1=Z[G] eş artış fonksiyonu olarak tanımlıyoruz. Yani
ϵ(∑σ∈Gnσσ)=∑σ∈Gnσ
ve
μ(n)=n⋅NG
Bakınız
burası ve
burası.
Sonuçta elde edilen dizinin her noktada net (exact) olduğu gösterilebilir.