Tam serbest çözünüm nedir?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
53 kez görüntülendi

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz lütfen.


Tam serbest çözünüm: Complete free resolution.

26, Mayıs, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu
27, Mayıs, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun ondördüncüsü. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu yanıt, Neukirch'in Bonn Dersleri kitabının ilgili kısmının detaylandırılmış biçimde aktarımıdır.


Tam serbest çözünüm kohomoloji gruplarını tanımlamak için kullanılan bir alettir.


$G$ sonlu bir grup olsun. $G$'nin tam serbest çözünümü aşağıdaki biçimde ve aşağıdaki şartları sağlayan iki adet net diziden oluşur. Birinci dizi: $$0\longleftarrow \mathbb{Z}\stackrel{\epsilon}{\longleftarrow}X_0\stackrel{d_1}{\longleftarrow}X_1\stackrel{d_2}{\longleftarrow}X_2\stackrel{d_3}{\longleftarrow}\cdots$$İkinci dizi: $$\cdots\stackrel{d_{-3}}{\longleftarrow}X_{-3}\stackrel{d_{r-2}}{\longleftarrow} X_{-2}\stackrel{d_{-1}}{\longleftarrow}X_{-1}\stackrel{\mu}{\longleftarrow}\mathbb{Z}\longleftarrow 0$$ ve iki diziyi birbirine bağlayan $d_0:X_0\longrightarrow X_{-1}$.Şartlar:

  1. $X_i$'lerin hepsi serbest $G$-modül (yani bir $G$-modül izomorfizmasıyla $\mathbb{Z}[G]$'lerin direk toplamına izomorf);
  2. $\epsilon,\mu,d_i$'lerin hepsi $G$-modül homomorfizması (Tanım için buraya tıklayın);
  3. $d_0=\mu\circ\epsilon$
  4. Net olmaktan söz edilebilen her yerde netlik var. Yani $\ker d_i=im (d_{i+1})$, $i\in\mathbb{Z}$ ve ek olarak $\ker(\epsilon)=im (d_1)$, $im (\epsilon)=\mathbb{Z}$, vesaire.  

Örnek: Bu örnek, kökleri topolojide olan bir tam serbest çözünüm örneği. Standart çözünüm (Standard resolution) olarak adlandırılır.

Öncelikle $X_i$'leri tanımlamamız gerek. $r\geq 1$ için $X_r$ ve $X_{-r-1}$ grubu, $G^r$ kümesi üzerinde serbestçe üretilmiş serbest $G$-modül olsun. Yani, tanım gereği $$X_r=X_{-r-1}=\bigoplus_{(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)\in G^r}\mathbb{Z}[G](\sigma_1,\cdots,\sigma_r)$$$r=0$ için de tanımı $$X_0=X_{-1}=\mathbb{Z}[G]$$ile veriyoruz. Açık ki, her $r\in\mathbb{Z}$ için $X_r$ serbest $G$-modülü. $X_0$ ve $X_{-1}$ için serbest üreteç olarak $1$ alındı. Şimdi bu modülleri ilişkilendiren $G$-modül morfizmalarını tanımlayacağız. Tanım biraz karışık gözükse de, korkutucu olmamalı. Çünkü pek çok durumda küçük boyutlar için yapılan hesaplamalar diğer boyutlar için de yeterli olacaktır (bkz: boyut öteleme -dimension shifting).

Nasıl ki bir vektör uzayı üzerinde lineer bir fonksiyon tanımlamak için fonksiyonu baz üzerinde tanımlamak yeterliyse, serbest bir $G$ modül üzerinde bir $G$-homomorfizması tanımlamak için fonksiyonu baz üzerinde (serbest üreteçler) tanımlamak yeterli. Biz de öyle yapacağız.
  1. $d_0(1)=N_G$ ($N_G$'nin tanımı için buraya bakınız);
  2. $d_1(\sigma)=\sigma-1$
  3. $r\geq 2$ için $$d_r(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)=\sigma_1(\sigma_2,\cdots,\sigma_r)\\+\sum_{i=1}^{r-1}(\sigma_1,\cdots,\sigma_{i-1},\sigma_i\cdot\sigma_{i+1},\sigma_{i+2},\cdots,\sigma_r)\\ +(-1)^r(\sigma_1,\cdots,\sigma_{q-1})$$
  4. $d_{-1}=\sum_{\sigma\in G}[\sigma^{-1}(\sigma)-(\sigma)]$;
  5. $-r-1\leq -2$ için $$d_{-r-1}(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)=\sum_{\sigma\in G}\sigma^{-1}(\sigma,\sigma_1,\cdots,\sigma_r)\\+\sum_{\sigma\in G}\sum_{i=1}^r(-1)^i(\sigma_1,\cdots,\sigma_{i-1},\sigma_i\sigma,\sigma^{-1},\sigma_{i+1},\cdots,\sigma_r)\\+\sum_{\sigma\in G}(-1)^{r+1}(\sigma_1,\cdots,\sigma_r,\sigma)$$

Son olarak $\epsilon$ ve $\mu$ fonksiyonlarını tanımlamalıyız: $\epsilon:X_0=\mathbb{Z}[G]\longrightarrow \mathbb{Z}$ fonksiyonunu artış fonksiyonu, $\mu:\mathbb{Z}\longrightarrow X_{-1}=\mathbb{Z}[G]$ eş artış fonksiyonu olarak tanımlıyoruz. Yani $$\epsilon(\sum_{\sigma\in G} n_{\sigma}\sigma)=\sum_{\sigma\in G} n_{\sigma}$$ve $$\mu(n)=n\cdot N_G$$ Bakınız burası ve burası.

Sonuçta elde edilen dizinin her noktada net (exact) olduğu gösterilebilir.
27, Mayıs, 2015 Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  cevaplandı
27, Mayıs, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi
...