1. K={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)} grubu bir S4−modüldür.
2. G grubu Z[G] için bir bazdır. (Ürettiği ve lineer bağımsızlığı görülebilir). Dolayısıyla (Z[G],+) grubu abelyan free gruptur.
3. (∑σ∈Gnσσ)+(∑σ∈Gtσσ)=∑σ∈G(nσ+tσ)σ (Burada gözükmeyen adamların katsayısını 0 alıyoruz). ∑σ∈G0σ grubun birim elemanıdır. Ayrıca ∑σ∈Gnσσ nın tersi ∑σ∈G(−nσ)σ şeklindedir. Çarpma işleminin sağladığı özellikler de kolayca görülebilir. Üstelik Z[G] halkası birimli ve birimi 1e şeklindedir. (e G nin birimi olmak üzere). Yani Z[G] bir halkadır. Eğer G değişmeli değilse örneğin; Z[S3] te (2(23))(1(123))≠(1(123))(2(23))) olup Z[G] değişmeli olmaz. Eğer G değişmeli ise (∑σ∈Gnσσ)(∑α∈Gtαα)=∑σ,α∈G(nσtα)σα=∑σ,α∈G(tαnσ)ασ elde edilir. Yani Z[G] değişmeli olur.
4. ⊙:Z[G]×A→A (∑σ∈Gnσσ,a)→∑σ∈Gnσ(σa) ile tanımlandığında A nın bir Z[G]−modül olduğu görülebilir.