(1) Ilk soruyla baslayalim.
A ve
B birer abelyen grup (bir baska ismiyle
Z-modul) olsun.
f:A→B bir grup homomorfizmasi olsun. O halde, her
n∈Z icin ve her
a∈A icin
f(na)=nf(a) oldugunu biliyoruz (basit grup teori). Yani, her grup homomorfizmasi bir
Z-modul homomorfizmasiymis. Ote yandan,
f:A→B bir
Z-modul homomorfizmasi ise, tanim geregi bir grup homomorfizmasidir. Yani,
Z-morfizmalarinin kumesini
Hom(A,B) olarak gostermemizde sikinti yok.
(2) Hom(A,B) kumesinin uzerinde (f+g)(a):=f(a)+g(a) kurali ile tanimlanan standart bir abelyen grup yapisi vardir. Verilen kuralin bir G-modul yapisi tanimladigini gostermek icin teker teker kontrol edelim:
-
f∈Hom(A,B) olsun. Her a∈A icin, (1f)(a)=1(f1a)=1(f(a))=f(a). Ilk esitlik, verilen kuraldan. Ikinci esitlik , A bir G-modul oldugu icin. Son esitlik ise B bir G-modul oldugu icin. Demek ki, 1f=f.
- σ∈G ve f1,f2∈Hom(A,B) olsun. Her a∈A icin, σ(f1+f2)(a)=σ((f1+f2)(σ−1a))=σ(f1(σ−1a)+f2(σ−1a)) =σf1(σ−1a)+σf2(σ−1a)=(σf1+σf2)(a). Burada da ilk esitlik tanimdan, ikinci esitlik Hom(A,B) uzerindeki toplamsal yapidan, ucuncu esitlik B'nin G-modul olmasindan ve son esitlik ise yine tanimdan. Yani, σ(f1+f2)=σf1+σf2
-
σ,τ∈G olsun. Her a∈A icin, (στ)f(a)=στ(f(τ−1σ−1a)) ve σ(τf)(a)=σ(τfτ−1)(a)=σ(τfτ−1)(σ−1a)=στ(f(τ−1σ−1a)) Yani, σ(τf)=(στ)f
Demek ki, Hom(A,B) de bir G-modulmus.
(3) Simdi bu G-modulun sabit modulunu bulalim. f∈Hom(A,B)G olsun. O halde, her σ∈G icin ve her a∈A icin, f(a)=σ−1f(a)=σ−1(f(σa))Esitligin sol ve sag tarafini σ ile carparsak, σ(f)=f(σa) buluruz. Demek ki, sabit moduldeki elemanlar birer G-modul morfizmasiymis. Ayni seyi tersten yapalim simdi de. Bir G-modul homomorfizmasi f alalim. Her σ icin σf(a)=f(σa). Bunun da iki tarafini σ−1 ile carparsak diledigimiz sonucu elde etmis oluruz. Hom(A,B)G=HomG(A,B)
(4) Son olarak da, G-etkisine gore sabit kalan bir noktanin bir G-morfizma altindaki goruntusunun de G-etkisi altinda sabit kaldigini gosterelim. a∈AG olsun. f(a)∈BG oldugunu gosterecegiz. Her σ∈G icin, σ(f(a))=f(σa)=f(a) Yani, G'nin elemanlarinin etkisi altinda f(a) sabit kaliyor.
Uyaniginiz degil mi sorusu: Her a∈AG ve her σinG icin σa=a. Yani, AG'nin uzerindeki G-etkisi tiriskadan bir etki.