G-modül morfizmaları

3 beğenilme 0 beğenilmeme
92 kez görüntülendi

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz.


$A$ ve $B$ birer $G$ modülü ise her $\sigma\in G$ ve her $a\in A$ için $$f(\sigma a)=\sigma f(a)$$ eşitliğini sağlayan $f:A\longrightarrow B$ grup homomorfizmasına $G$-homomorfizması denir. $A$ ile $B$ arasındaki $G$-homomorfizmaları kümesinin $B$'nin işlemi aracılığıyla tanımlanan abelyen bir grup yapısına sahip olduğunu gösterin. Bu grup $Hom_G(A,B)$ ile gösterilir. 

Her abelyen grup otomatik olarak $\mathbb{Z}$-modülüdür. $A$'dan $B$'ye giden $\mathbb{Z}$-homomorfizmalarının sıradan grup homomorfizmalarıyla örtüştüğünü gösterin. Bu nedenle $Hom_{\mathbb{Z}}(A,B)$ yerine yalnızca $Hom(A,B)$ yazılır. Bu grup üzerine $$\sigma f:=\sigma\circ f \sigma^{-1}:a\longmapsto \sigma (f\sigma^{-1}a)$$kuralının $G$-modül yapısı tanımladığını gösterin ve bu modül yapısına göre $Hom(A,B)$'nin sabit modülünün $Hom_G(A,B)$ olduğunu gösterin.

Buna ek olarak, eğer $f:A\longmapsto B$ bir $G$-homomorfizmasıysa, bu homomorfizmanın sabit gruplar arasında da bir $G$-homomorfizması tanımladığını gösterin: $$f_{|A^G}:A^G\longrightarrow B^G$$ Yani, $G$-etkisine göre sabit kalma özelliğine sahip bir noktanın görüntüsünün de bu özelliğe sahip olduğunu gösterin.

Uyanığınız değil mi sorusu: $A^G$ üzerindeki $G$-etkisi hakkında ne söyleyebilirsiniz?
20, Mayıs, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,246 puan) tarafından  soruldu
27, Mayıs, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun altıncısı. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
(1) Ilk soruyla baslayalim. $A$ ve $B$ birer abelyen grup (bir baska ismiyle $\mathbb{Z}$-modul) olsun. $f: A \to B$ bir grup homomorfizmasi olsun. O halde, her $n \in \mathbb{Z}$ icin ve her $a \in A$ icin $f(n a) = nf(a)$ oldugunu biliyoruz (basit grup teori). Yani, her grup homomorfizmasi bir $\mathbb{Z}$-modul homomorfizmasiymis. Ote yandan, $f: A \to B$ bir $\mathbb{Z}$-modul homomorfizmasi ise, tanim geregi bir grup homomorfizmasidir. Yani, $\mathbb{Z}$-morfizmalarinin kumesini $Hom(A,B)$ olarak gostermemizde sikinti yok.

(2) $Hom(A, B)$ kumesinin uzerinde $(f + g)(a) := f(a) + g(a)$ kurali ile tanimlanan standart bir abelyen grup yapisi vardir. Verilen kuralin bir $G$-modul yapisi tanimladigini gostermek icin teker teker kontrol edelim:
  • $f \in Hom(A, B)$ olsun. Her $a \in A$ icin, $(1 f)(a) = 1 (f 1 a)= 1(f(a)) = f(a)$. Ilk esitlik, verilen kuraldan. Ikinci esitlik , $A$ bir $G$-modul oldugu icin. Son esitlik ise $B$ bir $G$-modul oldugu icin. Demek ki, $1 f = f$.
  • $\sigma \in G$ ve $f_1 , f_2 \in Hom(A,B)$ olsun.  Her $a \in A$ icin, $\sigma(f_1 + f_2)(a) = \sigma((f_1 + f_2)(\sigma^{-1}a)) = \sigma(f_1 (\sigma^{-1}a)+ f_2(\sigma^{-1}a))$  $= \sigma f_1(\sigma^{-1}a) + \sigma f_2(\sigma^{-1}a) = (\sigma f_1 + \sigma f_2)(a)  $. Burada da ilk esitlik tanimdan, ikinci esitlik $Hom(A,B)$ uzerindeki toplamsal yapidan, ucuncu esitlik $B$'nin $G$-modul olmasindan ve son esitlik ise yine tanimdan. Yani, $\sigma(f_1 + f_2) = \sigma f_1 + \sigma f_2$
  • $\sigma, \tau \in G$ olsun. Her $a \in A$ icin, $$(\sigma\tau)f(a) = \sigma \tau (f (\tau^{-1} \sigma^{-1} a))$$ ve $$\sigma(\tau f)(a) = \sigma(\tau f \tau^{-1})(a) = \sigma(\tau f \tau^{-1})(\sigma^{-1}a) = \sigma \tau (f (\tau^{-1} \sigma^{-1}a))$$ Yani, $$\sigma(\tau f) = (\sigma \tau)f$$
Demek ki, $Hom(A,B)$ de bir $G$-modulmus.

(3) Simdi bu $G$-modulun sabit modulunu bulalim. $f \in Hom(A,B)^G$  olsun. O halde, her $\sigma \in G$ icin ve her $a \in A$ icin, $$f(a) = \sigma^{-1} f (a) = \sigma^{-1} (f (\sigma a))$$Esitligin sol ve sag tarafini $\sigma$ ile carparsak, $$\sigma (f) = f(\sigma a)$$ buluruz. Demek ki, sabit moduldeki elemanlar birer $G$-modul morfizmasiymis. Ayni seyi tersten yapalim simdi de. Bir $G$-modul homomorfizmasi $f$ alalim. Her $\sigma$ icin $\sigma f (a) = f(\sigma a)$. Bunun da iki tarafini $\sigma^{-1}$ ile carparsak diledigimiz sonucu elde etmis oluruz. $$Hom(A, B)^G = Hom_G(A,B)$$
(4) Son olarak da, $G$-etkisine gore sabit kalan bir noktanin bir $G$-morfizma altindaki goruntusunun de $G$-etkisi altinda sabit kaldigini gosterelim. $a \in A^G$ olsun. $f(a) \in B^G$ oldugunu gosterecegiz. Her $\sigma \in G$ icin, $$\sigma(f(a)) = f(\sigma a ) = f(a) $$ Yani, $G$'nin elemanlarinin etkisi altinda $f(a)$ sabit kaliyor.

Uyaniginiz degil mi sorusu: Her $a \in A^G$ ve her $\sigma in G$ icin $\sigma a = a$. Yani, $A^G$'nin uzerindeki $G$-etkisi tiriskadan bir etki.
14, Temmuz, 2015 Ozgur (1,973 puan) tarafından  cevaplandı

Soruları çözmek işe yarıyor değil mi?

Evet. 

Bu aralar "okuyorum" ama "soru cozmuyorum", elime kagit kalem alip detaylara girmiyorum. Buraya kadarki sorular hem biraz bunu asmami sagladi, hem temel bilgilerimi guncellemis oldum, hem de artik daha hizli yaziyorum.

Bundan sonraki sorular ise artik yapabiliyor olmam gereken sorular. Kendimi olcuyor olacagim. Hatam olursa duzelt lutfen.

Son olarak tesekkur ederim kendi adima. Fistik gibi yaz projesi oldu benim icin.

...