Diğer yanıtta kohomoloji gruplarının tanımını tam olarak vermiş olsam da, açık açık nasıl hesaplanabileceğini tam olarak belirtmemiştim. Şimdi, bunu yapacağız. Esasen burada bulacağımız kohomoloji grupları, kohomoloji gruplarının tanımı olarak da verilerbilir. Örneğin S. Shatz'ın Profinite Groups, Arithmetic and Geometry kitabında bir önceki yanıt aracılığıyla burada bulacağımız gruplar kohomoloji gruplarının tanımı olarak verilmekte. Çeşitli başka kitaplarda da Neukirch'in kullandığı stardart çözünüm yerine daha genel olarak izdüşümsel çözünümler kullanılmakta. Ama önünde sonunda herkes, bizim bu yanıttın sonunda kohomoloji grubu diye bulduğumuz grupları bulmakta.
Öncelikle notasyon kolaylığı için Ar=A−r−1=HomG(Xr,A) gösteriminde uzlaşalım. ((HomG(Xr,A)=HomG(X−r−1,A)) eşitliğinin de ayrımında olun, adamı gıcık etmeyin. Xr, tam serbest çözünüm nedir sorusundaki yanıtta tanımlanmıştı: Gr'nin elemanlarıyla serbest biçimde üretilen Z[G]-modül. Bir G-modül homomorfizması G-çarpmasıyla değişmeli olacağı için, Xr'den çıkan bir G-modül homomorfizması üreteçlerindeki değerleriyle tek türlü belirlenir. Buradan çıkan sonuç şudur. Xr'dan A'ya giden her G-homomorfizması Gr'den A'ya bir sıradan bir fonksiyon tanımladığı gibi Gr'den A'ya giden her sıradan fonksiyon da Xr'den A'ya giden bir G-homomorfizması tanımlar. Yani, eğer Gr'den A'ya giden fonksiyonları C(Gr,A) ile gösterirsek, elimizde üreteçlere kıstırmak marifetiyle tanımlanan şöyle bir izomorfizma var: Ar=A−r−1=HomG(Xr,A)≃C(Gr,A)r≥1O halde kohomoloji gruplarını C(Gr,A) gruplarını kullanarak da hesaplayabiliriz. Ama öncelikle A0=A−1 gruplarının yerine ne koyacağımızı belirlemeliyiz. Burada da işler kolay. Bu gruplar 1 tarafından üretilen serbest Z[G]-modülnden A'ya giden G-homomorfizmalar, dolayısıyla 1∈G'in görüntüsü tarafından tamamen belirlenirler. Bu da f⟼f(1) grup homomorfizmasıA0=A−1=HomG(Z[G],A)≃A izomorfizmasını verir. Son olarak, gruplarımızı bu izomorfik kopyalarıyla değiştirdiğimizde grupları birbirine bağlayan d∗i homomorfizmalarımıza denk gelecek δi homomorfizmalarının ne olduğunu bulmalıyız. Öncelikle d∗i homomorfizmasının ne olduğunu anımsayalım:Ai≃HomG(Xi,A)∋fd∗i⟼f∘di+1∈HomG(Xi+1,A)≃Ai+1Önce δ0'ı hesaplayalım. a∈A−1=A olsun. Bu durumda HomG(X−1),A içinde a'ya denk gelen (yukarıda anlattığımız izomorfizma aracılığıyla) G-homomorfizması f, 1'i a'ya gönderen G-homomorfizmasıdır. f'nin görüntüsü de doğal olarak f∘d0'dır. d0(1) ise NG olarak tanımlanmıştı (Bkz: buradaki ilk yanıt). Bu da demek oluyor ki a'nın görüntüsü NG⋅a. Sonuç:aδ0⟼NG⋅aDiğer δi'ler de benzer biçimde yaklaşımla hesaplanabilir. Burada hesaplanmışı var:
-
x∈A0=A için (δ1x)(σ)=σx−x. Ufacık bir açıklama. δ1x tanım gereği Hom(G,A) grubunun bir elemanı olmalı. Bu nedenle δ1x'i tanımlamak için σ∈G'deki görüntüsünü tarif ediyoruz. Diğer kısımlarda da aynı yöntemi uyguluyoruz.
-
r≥1 ve x∈Ar−1 için δrx(σ1,⋯,σr)=σ1x(σ2,⋯,σr)+r−1∑i=1(−1)ix(σ1,⋯,σiσi+1,σi+2,⋯,σr)+(−1)rx(σ1,⋯,σr−1)
-
x∈A−2 için δ−1x=∑σ∈G(σ−1x(σ)−x(σ))
-
r≥0 ve x∈A−r−2 için δ−r−1x(σ1,⋯,σr)=∑σ∈G[σ−1x(σ,σ1,⋯,σr)r∑i=1(−1)i(σ1,⋯,σi−1σiσ,σ−1,σi+1,⋯,σr)+(−1)r+1x(σ1,⋯,σr,σ)]
Özet:Hi(G,A)=ker(δi+1)/im(δi)
Artık, ufak boyutlu kohomoloji gruplarını hesaplayabilecek duruma gelmiş bulunmaktayız.