Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi
Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz lütfen.
Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun onaltıncısı. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Kohomoloji gruplarının birbirine denk pek çok farklı tanımı bulunmakta. Biz, Neukirch'i takip ederecek, ondördüncü soruda tanımladığımız standart çözünümü kullanacağız. En kısa tanım olarak şu söylenebilir. G-modül A'nın r'inci kohomoloji grubu G'nin standart çözünümüne Hom(,A) işlemi uygulanarak elde edilen net diziye G işlemi uygulanarak elde edilen zincirin r'inci kohomoloji grubu olarak tanımlanır. Şimdi bu kısa kohomoloji (üstelik içinde yine kohomolojiye referans verme gafletine düşen) tanımını açalım. 


Elimizde standart çözünümümüz aracılığıyla elde ettiğimiz, serbest G-modüllerden oluşan şu net dizi (exact sequence) var d3X3dr2X2d1X1d0X0d1X1d2X2d3Bu dizye Hom(,A)i şlemi (bazen fonktör de denir İngilizce functor kelimesine Türkçe karşılık olarak!!) uygulanarak dr2Hom(X2,A)d1Hom(X1,A)d0Hom(X0,A)d1Hom(X1,A)d2dizisi elde edilir ve bu dizi net bir dizidir (bakınız onbirinci soru). Şimdi bu dizideki grupların sabit noktalarını alırsak şu diziyi elde ederiz (bakınız altıncı soru):dr2HomG(X2,A)d1HomG(X1,A)d0HomG(X0,A)d1HomG(X1,A)d2Gelgelelim ki gelgelelim, bu dizi bir zincir olsa da (çünkü aradaki morfizmalar önceki morfizmların bir altgrbuba kıstırmalarıyla elde ediliyor ve bileşkeleri sıfır) artık net olmak zorunda değil. Bu nedenle ker(di)/im(di1)grubu net dizilerde olduğu gibi sıfır olmak zorunda değildir. Bu grup G-modül A'nın i'inci kohomoloji grubu olarak adlandılır ve eğer ker(di)=Zi ve im(di1=Ri) olarak gösterirsek şu şekilde gösterilir: Hi(G,A):=Zi/Ri


Neukirch'in kitabından alıntı: q1 için tanımlanmış Hq1(G,A) kohomoloji grupları, genel olarak Hq(G,A) ile gösterilen homoloji gruplarına eşittir. Cebirsel topolojide Z katsayılı kohomoloji grupları ilk başlarda homoloji gruplarının karakter grupları olarak tanımlanmışlardı. Kohomoloji gruplarının bu tarihsel kökünün izi, bizim tanımımızda kullandığımız dizinin sol tarafının sağ tarafın dualize edilmesiyle elde edilmesinde görülebilir (bakınız buradaki ikinci yanıt). Bu iki diziyi tek bir tam çözünüm dizisinde birleştirmek homoloji gruplarını negatif boyutlu kohomoloji grupları olarak görmeyi sağlamıştır ve bu bakış açısı yalnızca formal bir birleşimden çok daha fazlasıdır ve önemli sonuçlar doğurmuştur. Homoloji ve kohomoloji gruplarının bu füzyonu J. Tate'e aittir.

(3.7k puan) tarafından 
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Diğer yanıtta kohomoloji gruplarının tanımını tam olarak vermiş olsam da, açık açık nasıl hesaplanabileceğini tam olarak belirtmemiştim. Şimdi, bunu yapacağız. Esasen burada bulacağımız kohomoloji grupları, kohomoloji gruplarının tanımı olarak da verilerbilir. Örneğin S. Shatz'ın Profinite Groups, Arithmetic and Geometry kitabında bir önceki yanıt aracılığıyla burada bulacağımız gruplar kohomoloji gruplarının tanımı olarak verilmekte. Çeşitli başka kitaplarda da Neukirch'in kullandığı stardart çözünüm yerine daha genel olarak izdüşümsel çözünümler kullanılmakta. Ama önünde sonunda herkes, bizim bu yanıttın sonunda kohomoloji grubu diye bulduğumuz grupları bulmakta.

Öncelikle notasyon kolaylığı için Ar=Ar1=HomG(Xr,A) gösteriminde uzlaşalım. ((HomG(Xr,A)=HomG(Xr1,A)) eşitliğinin de ayrımında olun, adamı gıcık etmeyin. Xr, tam serbest çözünüm nedir sorusundaki yanıtta tanımlanmıştı: Gr'nin elemanlarıyla serbest biçimde üretilen Z[G]-modül. Bir G-modül homomorfizması G-çarpmasıyla değişmeli olacağı için, Xr'den çıkan bir G-modül homomorfizması üreteçlerindeki değerleriyle tek türlü belirlenir. Buradan çıkan sonuç şudur. Xr'dan A'ya giden her G-homomorfizması Gr'den A'ya bir sıradan bir fonksiyon tanımladığı gibi Gr'den A'ya giden her sıradan fonksiyon da Xr'den A'ya giden bir G-homomorfizması tanımlar. Yani, eğer Gr'den A'ya giden fonksiyonları C(Gr,A) ile gösterirsek,  elimizde üreteçlere kıstırmak marifetiyle tanımlanan şöyle bir izomorfizma var: Ar=Ar1=HomG(Xr,A)C(Gr,A)r1O halde kohomoloji gruplarını C(Gr,A) gruplarını kullanarak da hesaplayabiliriz. Ama öncelikle A0=A1 gruplarının yerine ne koyacağımızı belirlemeliyiz. Burada da işler kolay. Bu gruplar 1 tarafından üretilen serbest Z[G]-modülnden A'ya giden G-homomorfizmalar, dolayısıyla 1G'in görüntüsü tarafından tamamen belirlenirler. Bu da ff(1) grup homomorfizmasıA0=A1=HomG(Z[G],A)A izomorfizmasını verir. Son olarak, gruplarımızı bu izomorfik kopyalarıyla değiştirdiğimizde grupları birbirine bağlayan di homomorfizmalarımıza denk gelecek δi homomorfizmalarının ne olduğunu bulmalıyız. Öncelikle di homomorfizmasının ne olduğunu anımsayalım:AiHomG(Xi,A)fdifdi+1HomG(Xi+1,A)Ai+1Önce δ0'ı hesaplayalım. aA1=A olsun. Bu durumda HomG(X1),A içinde a'ya denk gelen (yukarıda anlattığımız izomorfizma aracılığıyla) G-homomorfizması f, 1'i a'ya gönderen G-homomorfizmasıdır. f'nin görüntüsü de doğal olarak fd0'dır. d0(1) ise NG olarak tanımlanmıştı (Bkz: buradaki ilk yanıt). Bu da demek oluyor ki a'nın görüntüsü NGa. Sonuç:aδ0NGaDiğer δi'ler de benzer biçimde yaklaşımla hesaplanabilir. Burada hesaplanmışı var:

  1. xA0=A için (δ1x)(σ)=σxx. Ufacık bir açıklama. δ1x tanım gereği Hom(G,A) grubunun bir elemanı olmalı. Bu nedenle δ1x'i tanımlamak için σG'deki görüntüsünü tarif ediyoruz. Diğer kısımlarda da aynı yöntemi uyguluyoruz.
  2. r1 ve xAr1 için δrx(σ1,,σr)=σ1x(σ2,,σr)+r1i=1(1)ix(σ1,,σiσi+1,σi+2,,σr)+(1)rx(σ1,,σr1)
  3. xA2 için δ1x=σG(σ1x(σ)x(σ))
  4. r0 ve xAr2 için δr1x(σ1,,σr)=σG[σ1x(σ,σ1,,σr)ri=1(1)i(σ1,,σi1σiσ,σ1,σi+1,,σr)+(1)r+1x(σ1,,σr,σ)]
Özet:Hi(G,A)=ker(δi+1)/im(δi)
Artık, ufak boyutlu kohomoloji gruplarını hesaplayabilecek duruma gelmiş bulunmaktayız.
(3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Düşük boyutlu kohomoloji gruplarını hesaplayınız

Standard terminolojide bu tanımladığın kohomoloji gruplarına Tate kohomoloji grubu deniyor, normal pozitif grup kohomolojisi ile karışmasın diye. Özellikle sıfırıncı boyutta bu ayrım çok önemli. Genellikle ˆHn(G,A) diye ifade ediliyor. Bu notasyonu kullan demiyorum sadece not düşmek istedim.

Bu arada, bu sorular yazma cabanı takdirle karşılıyorum. Bu kadar şeyi nasıl yazabiliyorsun hayran kaldım..

Son bir not, bu verdiğin tanım ile yüksek boyutlarda kohomoloji hesaplamak neredeyse imkansız oluyor (bilgisayar ile bile) o yüzden standard olmayan çözünümlere de bakmak gerekiyor. Burada özellikle devirli gruplara bakmak faydalı. Son son not: Gelecek nesiller için G'nin sonlu grup olduğunu burada da belirtmek faydalı olabilir zira Tate kohomolojisi sadece sonlu gruplar için tanımlı. 

Bütün sorularını daha tam okuyamadım bunları başka yerde belirttiysen kusura bakma..

Ben konunun uzmani olmadigim icin belli bir kaynaga bagli kalmayi tercih ettim ve sayilar teorisi aliskanligindan Nuekirch'i sectim.


Ilk soruda G'nin sonlu bir grup oldugunu belirtmistim. Sorular bittikten sonra bastan sona bir elden gecirip, biraz daha takip edilerbilir bir hale getirmeye calisacagim. Linkleriyle falan.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,848 kullanıcı