1. IG verilen kume ile serbest bicimde gerilen abelyen gruptur:
∑σnσσ∈IG olsun. Bunu,
n11+∑σ≠1nσσ olarak yazalim.
IG=kerϵ oldugundan,
∑σ≠1nσ=ϵ(∑σ≠1nσσ)=−ϵ(n11)=−n1 Yani,
n1=−∑σ≠1nσ O halde,
∑σnσσ=n11+∑σ≠1nσσ=(−∑σ≠1nσ)1+∑σ≠1nσσ=∑σ≠1nσ(−1)+∑σ≠1σ=∑σ≠1(σ−1)
Bu elemanlarin Z[G] icerisinde Z-lineer bagimsiz olduklari bariz. Dolayisiyla, IG=⊕σ≠1Z(σ−1)
2. JG de verilen kume ile serbest bicimde gerilen abelyen gruptur:
∑σnσσ+ZNG∈JG'yi ¯∑σnσσ olarak gosterelim. ¯∑σnσσ=¯n11+¯∑σ≠1nσσ=¯n11+¯∑σ≠1(nσ−n1+n1)σ=¯n11+¯∑σ≠1n1σ+¯∑σ≠1(nσ−n1)σ=n1¯∑σσ+∑σ≠1¯(nσ−n1)σ=0+∑σ≠1(nσ−n1)¯σ
Yine, Z-lineer bagimsizlik bariz. Dolayisiyla, JG=⊕σ≠1Z¯σ
3. Z serbest abelyen grup, dolayisiyla izdusumsel Z-modul. Yarilma onsavi (splitting lemma) bize bu kisa net dizinin yarilacagini soyluyor.
4. Abelyen grup olarak ZNG≅Z ve JG=⊕σ≠1Z¯σ≅⊕σ≠1Zσ. Yine yarilma onsavini kullanarak istenilen esitligi gosterebiliriz.