Artış ve norm ideallerinin (augmentation ve norm) serbest çarpan oluşları

3 beğenilme 0 beğenilmeme
58 kez görüntülendi
Öncelikle sorunun altındaki üçüncü yorumu okuyunuz.



$I_G$ idealinin $\{ \sigma-1:\sigma\in G-\{1\}\}$ kümesi tarafından serbest biçimde üretildiğini gösterin. $\mathbb{Z}[G]/\mathbb{Z}N_G$ ideaini $J_G$ ile gösterelim. $J_G$ idealinin abelyen grup olarak $\{\sigma+\mathbb{Z}N_G:\sigma\neq 1\}$ kümesi tarafından serbest biçimde üretildiğini gösterin.

Bu iki sonucu, ikinci soruda bulunan $$0\longrightarrow I_G\longrightarrow\mathbb{Z}[G]\longrightarrow^{\epsilon} \mathbb{Z}\longrightarrow 0$$ ve $$0\longrightarrow \mathbb{Z}\longrightarrow^{\mu}\mathbb{Z}[G]\longrightarrow J_G\longrightarrow 0$$ kısa net dizilerini (short exact sequence) kullanarak $$\mathbb{Z}[G]=I_G\oplus \mathbb{Z}$$ ve $$\mathbb{Z}[G]=(\oplus_{\sigma\neq 1}\mathbb{Z}\sigma)\oplus\mathbb{Z}\cdot N_G$$eşitliklerini ispatlayın.
20, Mayıs, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,384 puan) tarafından  soruldu
26, Mayıs, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

Şafak, yazdığın direkt toplam eşitlikleri sadece toplamsal olarak var. $\mathbf Z G$ modül olarak bu kısa net diziler yarılmıyor (do not Split). Örnek olarak $G$ yi iki elemanlı devirli grup alarak kontrol edebilirsin.

Evet, o yuzden serbest gruplar oldugunu kullanmak yeterli. ZG modul olarak degil, Z modul olarak yariliyorlar- serbest moduller izdusumsel olduklari icin dogal olarak.

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun üçüncüsü. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

1. $I_G$ verilen kume ile serbest bicimde gerilen abelyen gruptur:

$\sum_\sigma n_\sigma \sigma \in I_G$ olsun. Bunu, $n_1 1 + \sum_{\sigma  \neq 1} n_\sigma\sigma$ olarak yazalim. $I_G = \ker \epsilon$ oldugundan, $$\sum_{\sigma \neq 1} n_\sigma = \epsilon (\sum_{\sigma\neq 1} n_\sigma\sigma) = - \epsilon(n_1 1) = -n_1 $$ Yani, $$n_1= - \sum_{\sigma \neq 1} n_\sigma$$ O halde, $$\sum_\sigma n_\sigma \sigma = n_1 1 + \sum_{\sigma \neq 1} n_\sigma \sigma = (- \sum_{\sigma \neq 1} n_\sigma) 1 + \sum_{\sigma \neq 1}n_\sigma \sigma = \sum_{\sigma \neq 1}n_\sigma (-1) + \sum_{\sigma \neq 1} \sigma = \sum_{\sigma \neq 1}(\sigma -1)$$

Bu elemanlarin $\mathbb{Z}[G]$ icerisinde $\mathbb{Z}$-lineer bagimsiz olduklari bariz. Dolayisiyla, $$I_G = \oplus_{\sigma \neq 1} \mathbb{Z}(\sigma - 1)$$

2. $J_G$ de verilen kume ile serbest bicimde gerilen abelyen gruptur:

$\sum_\sigma n_\sigma \sigma + \mathbb{Z}N_G \in J_G$'yi $\overline{\sum_\sigma n_\sigma \sigma}$ olarak gosterelim. $$\overline{\sum_\sigma n_\sigma \sigma} = \overline{n_1 1} + \overline{\sum_{\sigma \neq 1} n
_\sigma \sigma} = \overline{n_1 1} + \overline{\sum_{\sigma \neq 1} (n_\sigma - n_1 + n_1) \sigma} \\ = \overline{n_1 1} + \overline{\sum_{\sigma \neq 1} n_1 \sigma}+\overline{\sum_{\sigma \neq 1}(n_\sigma - n_1) \sigma} \\ = n_1 \overline{\sum_{\sigma} \sigma} + \sum_{\sigma \neq 1} \overline{(n_\sigma - n_1) \sigma} \\ = 0 + \sum_{\sigma \neq 1} (n_\sigma - n_1)\overline{\sigma}$$

Yine, $\mathbb{Z}$-lineer bagimsizlik bariz. Dolayisiyla, $$J_G = \oplus_{\sigma \neq 1} \mathbb{Z}\overline{\sigma}$$

3. $\mathbb{Z}$ serbest abelyen grup, dolayisiyla izdusumsel $\mathbb{Z}$-modul. Yarilma onsavi (splitting lemma) bize bu kisa net dizinin yarilacagini soyluyor.

4. Abelyen grup olarak $\mathbb{Z}N_G \cong \mathbb{Z}$ ve $J_G = \oplus_{\sigma \neq 1} \mathbb{Z} \overline{\sigma} \cong \oplus_{\sigma \neq 1} \mathbb{Z}\sigma$. Yine yarilma onsavini kullanarak istenilen esitligi gosterebiliriz.

5, Temmuz, 2015 Ozgur (2,083 puan) tarafından  cevaplandı
20, Haziran, 20 Safak Ozden tarafından seçilmiş
...