Norm ve artış idealleri birbirlerinin sıfırlayıcılarıdır

Question

Öncelikle ilk yorumu okuyunuz.

$$I_G=Ann \mathbb{Z}\cdot N_G$$ve$$\mathbb{Z}\cdot N_G=Ann I_G$$eşitliklerini ispatlayın. ($Ann=$ annihilator (sıfırlayıcı).)

Comments

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun dördüncüsü. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

Answer 1

1. $r = \sum_\sigma n_\sigma \sigma$ olsun. $$rN_G = (\sum_\sigma n_\sigma \sigma) N_G = \sum_{\sigma}n_\sigma(\sigma N_G) =^* \sum_\sigma n_\sigma N_G = (\sum_{\sigma} n_\sigma) N_G$$ Dolayisiyla, $$rN_G = 0 \iff (\sum_\sigma n_\sigma) N_G = 0 \iff N_G = 0 \iff n N_G = 0 \quad (n \in \mathbb{Z})$$

Yani, $Ann(\mathbb{Z}N_G) = I_G$.

2. $r = \sum_g n_g g$ olsun. Bir onceki soruda $I_G$'nin $\mathbb{Z}$-modul olarak $\{\sigma - 1 : \sigma  \in G, \sigma \neq 1\}$ kumesi ile serbestce gerildigini gorduk. Bu da bize sunu soyluyor: $$r \in Ann(I_G) \iff r(\sigma - 1) = 0 \quad \forall \sigma\in G-\{1\}$$ Simdi, $\sigma \in G - \{1\}$ alalim. $r(\sigma - 1) = 0$ demek, $r\sigma = r$ demek. Yani,

$$\sum_g n_g g\sigma = \sum_g n_g g $$ Sag tarafta $1$'in katsayisi $n_1$ iken sol tarafta $1$'in katsayisi $n_{\sigma^{-1}}$ ve $\sigma$'yi rastgele sectik. Demek ki, her $\sigma \in G - \{1\}$ icin, $n_{\sigma^{-1}} = n_1$. 

Dolayisiyla, her $\sigma \in G - \{1\}$ icin $n_{\sigma} = n_1$. Bu da demek oluyor ki, $r \in Ann(I_G)$  ancak ve ancak $r = n_1 N_G$

$^*$ ikinci soruda, $N_G$'nin $G$'nin elemanlariyla carpma altinda degismedigini gormustuk.

Answer 2

1) $(\sum\limits_{g \in G} n_gg)\cdot N_G=\sum\limits_{g \in G} n_g(gN_g)=(\sum\limits_{g \in G}n_g)N_G=0 \iff \sum\limits_{g \in G}n_g=0$.

2) Bir onceki soruda artis idealinin bazinin $g-1$ ($g \in G$) seklinde oldugunu gorduk.Sadece bazlara bakmak yeterli olacagindan:

$\sum\limits_{h \in G}n_hh \in Ann I_G \iff\sum\limits_{h \in G}n_hh(g-1)=0 \: \: \forall g \in G \iff n_h=n_1 \: \: \forall h \in H$.

Bu da sifirliyicisinin $\mathbb Z N_G$ oldugunu soyluyor.