1. r=∑σnσσ olsun.
rNG=(∑σnσσ)NG=∑σnσ(σNG)=∗∑σnσNG=(∑σnσ)NG
Dolayisiyla,
rNG=0⟺(∑σnσ)NG=0⟺NG=0⟺nNG=0(n∈Z)
Yani, Ann(ZNG)=IG.
2. r=∑gngg olsun. Bir onceki soruda
IG'nin
Z-modul olarak
{σ−1:σ∈G,σ≠1} kumesi ile serbestce gerildigini gorduk. Bu da bize sunu soyluyor:
r∈Ann(IG)⟺r(σ−1)=0∀σ∈G−{1}
Simdi,
σ∈G−{1} alalim.
r(σ−1)=0 demek,
rσ=r demek. Yani,
∑gnggσ=∑gngg
Sag tarafta
1'in katsayisi
n1 iken sol tarafta
1'in katsayisi
nσ−1 ve
σ'yi rastgele sectik. Demek ki, her
σ∈G−{1} icin,
nσ−1=n1.
Dolayisiyla, her σ∈G−{1} icin nσ=n1. Bu da demek oluyor ki, r∈Ann(IG) ancak ve ancak r=n1NG
∗ ikinci soruda, NG'nin G'nin elemanlariyla carpma altinda degismedigini gormustuk.