(1) $A$ bir $X$-modul olsun $^*$. Tanimin bir parcasi olarak, her $\sigma \in X$ icin ve her $a, b \in A$ icin $\sigma(a + b)= \sigma a + \sigma b$ oldugunu biliyoruz. Bunu baska bir sekilde soyleyecek olursak, her $\sigma \in X$ icin, $a \mapsto \sigma a$ seklinde tanimlanan fonksiyon $A$'dan $A$'ya bir grup homomorfizmasidir.
(2) $X = G$ bir grup olsun. Her $\sigma \in G$ icin ve her $a \in A$ icin, (1)'den dolayi $\sigma 0 = 0$ ve $\sigma(-a) = - \sigma(a)$ olacaktir.
(3) Simdi, $a, b \in A^G$ olsun. Her $\sigma \in G$ icin,
$\sigma (a + b) = \sigma a + \sigma b = a + b$, yani $a + b$ de $G$'nin butun elemanlari tarafindan sabitleniyor. $A^G$ toplama altinda kapali.
$\sigma 0 = 0$. Demek ki, $0$'da sabitleniyor. Oyleyse, $0 \in A^G$.
$\sigma(-a) = - \sigma a = - a$. Demek ki, $A^G$ toplamsal tersler altinda da kapali.
Bu durumda, $A^G \subset A$ bir altgruptur.
(4) Bu serinin ilk sorusunda $A$'nin $G$-modul olmasinin, $A$'nin bir $\mathbb{Z}[G]$-modul olmasi anlamina geldigini gormustuk. O halde, $R = \mathbb{Z}[G]$ alirsak, $N_G \in R$ ile (soldan) carpmanin verdigi grup endomorfizmasinin imgesi olan $N_G A$ da bir altgrup olacaktir. Ayni sekilde bu endomorfizmanin cekirdegi olan $_{N_G}A$ da bir altgrup.
(5) Bunu nasil soyleyecegimi dusundum ama bulamadim. Eger, butun $n_\sigma$'lari sifir alirsak elde ettigimiz $I_G$ elemani $0 \in R$ oluyor. O halde, her $a_\sigma$'yi ayni sectigimizi ($a_\sigma = a$) dusunursek $0_R a = 0_G \in I_G A$ olacaktir. Ayni sekilde, butun $n_\sigma$'lari $-n_\sigma$ yaparsak, $I_G A$'nin toplamsal tersler altinda kapali oldugunu da gorebiliriz. Simdi, sadece toplama altinda kapali oldugunu gostermek kaldi. $x = \sum_{\sigma \in G, \sigma \neq 1} n_\sigma (\sigma - 1) a_\sigma$ ve $y = \sum_{\sigma \in G, \sigma \neq 1} m_\sigma (\sigma - 1) b_\sigma$ olsun. $a_\sigma$'lar ile $b_\sigma$'lar farkli olabilir. Iki toplamdan birinde icerilmiyorsa, katsayisinin sifir oldugunu kabul ederek $x = \sum_{\sigma \in G, \sigma \neq 1} n_\sigma (\sigma - 1) a_\sigma$ ve $y = \sum_{\sigma \in G, \sigma \neq 1} m_\sigma (\sigma - 1) a_\sigma$ oldugunu kabul edersek, biraz cetrefilli de olsa toplami yazip, hayatimizi kurtarabiliriz gibi geliyor.$^{**}$
(6) Ikinci soruda, $N_G$'nin $G$, nin elemanlariyla carpma altinda degismedigini gostermistik. Her $\sigma \in G$ icin, $\sigma (N_G a) = (\sigma N_G) a = N_G a$. Bu nedenle, $N_G A \subset A^G$.
(7) Bir onceki soruda norm ve artis ideallerinin birbirlerinin sifirlayicilari oldugunu gostermistik. Dolayisiyla, once $I_G$ den bir elemanla, sonra $N_G$ ile carpmak sifir demek.
(8) Burada $A = \mathbb{Z}[G]$ alinirsa demek istiyoruz sanirim. Bu durumda ne olur? Inceleyelim.
Oncelike $A^G$ kumesine bakalim. $a = \sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma \in A$ olsun. $a_\sigma$ katsayilarinin hepsi ayniysa, yani $a \in \mathbb{Z}N_G$ ise, o zaman hangi grup elemaniyla carparsak carpalim $a$ degismez. O halde, $A^G$ kumesi $\mathbb{Z}N_G$'yi icerir. Ama eger tum katsayilar ayni degilse, o zaman $a$'yi sabitlemeyen en az bir grup elemani vardir. Zira, $a_1 \neq a_\sigma$ olacak sekilde bir $\sigma$ olmak zorundadir. $a$'yi $\sigma^{-1}$ ile carptigimizda $1$'in katsayisi $a_\sigma$ olacak ve dolayisiyla $\sigma^{-1} a \neq a$ olacak. Yani $a \notin A^G$ olacak. Demek ki, $G$ altinda degismeyen alt grup norm ideali (norm altgrubu) $$A^G = \mathbb{Z} N_G$$
Simdi sira $N_G A$'da. Bu, $N_G$ ile gerilen (sag) ideal. Ikinci soruda $N_G$'nin $G$'nin elemanlariyla soldan carpma altinda kapali oldugunu gostermistik. Ayni argumani kullanarak sagdan carpma altinda da ayni seyin gecerli oldugunu soyleyebilir, ve yine ikinci soruda kullandigimiz argumanla, $N_G \mathbb{Z}$'nin bir sag ideal oldugunu gosterebiliriz. Bunun $N_G$'yi iceren en kucuk sag ideal oldugu bariz. O halde, $N_G A = N_G \mathbb{Z}$. Ve, $\mathbb{Z} = \mathbb{Z} 1 \subset Z(A)$ oldugu icin (yani tam sayilar halkamizin merkezinde yer aldigi icin) $\mathbb{Z} N_G = N_G \mathbb{Z}$, O halde, $$N_G A = \mathbb{Z} N_G$$
Gordugumuz gibi hem $A^G$, hem de $N_G A$ altgruplari norm altgrubuna esit. Yani esitlik saglandi: $$A_G = N_G A = \mathbb{Z}N_G$$
Gelelim $_{N_G}A$'ya. Burada, $_{N_G}A = Ann(N_G) = Ann(\mathbb{Z} N_G) = I_G$ esitlikleri var. Sondaki esitlik bir onceki sorudan geliyor $^{***}$. Yani, $$_{N_G}A = I_G$$
Son olarak $I_G A$. Burada da $I_G$ ile gerilen sag ideale bakiyoruz. $I_G$ kendisi de bir sag ideal. O halde, $$I_G A = I_G$$
Demek ki, yine esitlik var: $$_{N_G}A = I_G A = I_G$$
(9) Son olarak, $A = L^{\times}$ ve $G = Gal(L/K)$ ornegine bakalim. $A$'nin bir $G$-modul oldugunu gostermeyecegim. Ama $G$'nin $A$'nin uzerine bariz etkisinin $\sigma \cdot a = \sigma(a)$ oldugunu soylemek istiyorum. Ayrica, $A$'nin bir carpimsal bir grup oldugunu da unutmayalim bu durumda. Norm ve artis ideallerinin tanimini sadece $\mathbb{Z}[G]$ icin yapmis olsak da daha once, o sorudan yola cikarak bunlarin nasil tanimlanmasi gerektigini gorebiliriz -ki asagida da bunu yapacagiz.
$A^G$ ile baslayalim. Eger, bir eleman butun otomorfizmalar tarafindan sabitleniyorsa, genislememiz Galois genislemesi oldugundan (Galois genislemesi olmasaydi sorun cikar miydi?): $$A^G = K$$
$N_G A$'yi bulmak icin oncelikle $N_G$'nin ne oldugunu bulmamiz lazim. Hilbert 90 sorusunda vermis oldugumuz cevapta, her seyin carpimsal yazildigini da goz onunde bulundurursak bunun o sorudaki norm homomorfizmasinin imgesine esit oldugunu gorebiliriz. (Ikinci sorunun 4. kismindaki esartis homomorfizmasiyla iliskisi?)
$_{N_G}A$ kumesi, tam da tanimlar itibariyle $\ker N_{L/K}$ olmali.
$I_G A$ kumesini bulmak icinse, $I_G$'nin ne oldugunu soylemeliyiz oncelikle. 2. sorunun ilk iki altsorusundan yola cikarak bunu da $\ker N_{L/K} $ olarak tanimlarsam, esitligi gostermis olurum.
Yalniz, Hilbert 90'i hic kullanmadim? Sanirim bir yerde hata yaptim, ya da $I_G$'nin tanimini yanlis yaptim.
----------------------------------------
$^*$$X$'i bir grup alarak bu soru dizisindeki gibi $G$-modulleri, ya da $X$'i bir halka alarak bildigimiz anlamda (sol) modulleri dusunebiliriz. Argumanimiz ayni olacak iki durumda da. Ayrica, bu kadar uzatmaya gerek yok, direkt (3)'ten baslayabiliriz. Ama bu yapiya biraz deginmek istedim.
$^{**}$ Sorudaki toplam $\sigma \in G - \{1\}$ uzerinden olacak, degil mi?
$^{***}$ Ancak, burada kucuk bir sorun var. Bir onceki sorudaki cevabimda soldan carpinca sifirlayan elemanlara bakmistim, burada sagdan carpinca sifirlayan elemanlara bakiyorum. O kanitta, her seyi diger taraftan carparak da yapabilirdim. Dolayisiyla aslinda sorun yok.