Bir G-modülün önemli altmodülleri

3 beğenilme 0 beğenilmeme
79 kez görüntülendi

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz.


$A$ bir $G$-modül olsun. $A$'nın sabit grubu $A^G$ şu şekilde tanımlanır: $$A^G:=\{a\in A:\sigma a=a:\forall\sigma\in G\}$$ $A$'nın norm grubu $$N_GA:=\{N_G\cdot a:a\in A\}$$biçiminde tanımlanır. $I_GA$ ve $_{N_G}A$ altgrupları da şu şekilde tanımlanır:$$_{N_G}A:=\{a\in A:N_G\cdot a=0\};$$ $$I_GA:\Big\{\sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}(\sigma a_{\sigma}-a_{\sigma}:a_{\sigma}\in A\Big\}.$$

Tanımlanan bütün altgrupların gerçekten birer altgrup olduklarını, $N_GA\subseteq A^G$ ve   $I_GA\subseteq _{N_G}A$ içerme ilişkilerinin doğru olduğunu gösterin. $A=\mathbb{Z}[A]$ alınırsa bu grupların artış ya da norm altgruplarıyla ilişkisinin ne olduğunu bulun. Bu durumda bu soruda tanımlanan altgrupların birbirine eşitliklerini inceleyin.

$L/K$ Galois genişlemesi olsun $A=L^{\times}$, $G=Gal(L/K)$ olsun. Bu durumda burada tanımlanmış grupların ne olduğunu bulun ve Hilbert 90'ı kullanarak $I_GA=_{N_G}A$ olduğunu gösterin.
20, Mayıs, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,278 puan) tarafından  soruldu
26, Mayıs, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun beşincisi. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

Biz daha once $I_G$ ve $N_G$'yi grup halkasi icin tanimlamistik sadece (soru 2). Ona bakarak bir seyler soylemeye calistim son kisim icin ama ne kadar dogru yaptim emin degilim. 

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

(1) $A$ bir $X$-modul olsun $^*$. Tanimin bir parcasi olarak, her $\sigma \in X$ icin ve her $a, b \in A$ icin  $\sigma(a + b)= \sigma a + \sigma b$ oldugunu biliyoruz. Bunu baska bir sekilde soyleyecek olursak, her $\sigma \in X$ icin, $a \mapsto \sigma a$ seklinde tanimlanan fonksiyon $A$'dan $A$'ya bir grup homomorfizmasidir.

(2) $X = G$ bir grup olsun. Her $\sigma \in G$ icin ve her $a \in A$ icin, (1)'den dolayi $\sigma 0 = 0$ ve $\sigma(-a) = - \sigma(a)$ olacaktir.

(3) Simdi, $a, b \in A^G$ olsun. Her $\sigma \in G$ icin, 

$\sigma (a + b) = \sigma a + \sigma b = a + b$, yani $a + b$ de $G$'nin butun elemanlari tarafindan sabitleniyor. $A^G$ toplama altinda kapali.

$\sigma 0 = 0$. Demek ki, $0$'da sabitleniyor. Oyleyse, $0 \in A^G$.

$\sigma(-a) = - \sigma a = - a$. Demek ki, $A^G$ toplamsal tersler altinda da kapali.

Bu durumda, $A^G \subset A$ bir altgruptur.

(4) Bu serinin ilk sorusunda $A$'nin $G$-modul olmasinin, $A$'nin bir $\mathbb{Z}[G]$-modul olmasi anlamina geldigini gormustuk. O halde, $R = \mathbb{Z}[G]$ alirsak, $N_G \in R$ ile (soldan) carpmanin verdigi grup endomorfizmasinin imgesi olan $N_G A$ da bir altgrup olacaktir. Ayni sekilde bu endomorfizmanin cekirdegi olan $_{N_G}A$ da bir altgrup.

(5) Bunu nasil soyleyecegimi dusundum ama bulamadim. Eger, butun $n_\sigma$'lari sifir alirsak elde ettigimiz $I_G$ elemani $0 \in R$ oluyor. O halde, her $a_\sigma$'yi ayni sectigimizi ($a_\sigma = a$) dusunursek $0_R a = 0_G \in I_G A$ olacaktir. Ayni sekilde, butun $n_\sigma$'lari $-n_\sigma$ yaparsak, $I_G A$'nin toplamsal tersler altinda kapali oldugunu da gorebiliriz. Simdi, sadece toplama altinda kapali oldugunu gostermek kaldi. $x = \sum_{\sigma \in G, \sigma \neq 1} n_\sigma (\sigma - 1) a_\sigma$ ve $y = \sum_{\sigma \in G, \sigma \neq 1} m_\sigma (\sigma - 1) b_\sigma$ olsun. $a_\sigma$'lar ile $b_\sigma$'lar farkli olabilir. Iki toplamdan birinde icerilmiyorsa, katsayisinin sifir oldugunu kabul ederek $x = \sum_{\sigma \in G, \sigma \neq 1} n_\sigma (\sigma - 1) a_\sigma$ ve $y  = \sum_{\sigma \in G, \sigma \neq 1} m_\sigma (\sigma - 1) a_\sigma$ oldugunu kabul edersek, biraz cetrefilli de olsa toplami yazip, hayatimizi kurtarabiliriz gibi geliyor.$^{**}$

(6) Ikinci soruda, $N_G$'nin $G$, nin elemanlariyla carpma altinda degismedigini gostermistik. Her $\sigma \in G$ icin, $\sigma (N_G a) = (\sigma N_G) a = N_G a$. Bu nedenle, $N_G A \subset A^G$.

(7) Bir onceki soruda norm ve artis ideallerinin birbirlerinin sifirlayicilari oldugunu gostermistik. Dolayisiyla, once $I_G$ den bir elemanla, sonra $N_G$ ile carpmak sifir demek.

(8) Burada $A = \mathbb{Z}[G]$ alinirsa demek istiyoruz sanirim. Bu durumda ne olur? Inceleyelim. 

Oncelike $A^G$ kumesine bakalim. $a = \sum_{\sigma \in G} a_\sigma \sigma \in A$ olsun. $a_\sigma$ katsayilarinin hepsi ayniysa, yani $a \in \mathbb{Z}N_G$ ise, o zaman hangi grup elemaniyla carparsak carpalim $a$ degismez. O halde, $A^G$ kumesi $\mathbb{Z}N_G$'yi icerir. Ama eger tum katsayilar ayni degilse, o zaman $a$'yi sabitlemeyen en az bir grup elemani vardir. Zira, $a_1 \neq a_\sigma$ olacak sekilde bir $\sigma$ olmak zorundadir. $a$'yi $\sigma^{-1}$ ile carptigimizda $1$'in katsayisi $a_\sigma$ olacak ve dolayisiyla $\sigma^{-1} a \neq a$ olacak. Yani $a \notin A^G$ olacak. Demek ki, $G$ altinda degismeyen alt grup norm ideali (norm altgrubu) $$A^G = \mathbb{Z} N_G$$

Simdi sira $N_G A$'da. Bu, $N_G$ ile gerilen (sag) ideal. Ikinci soruda $N_G$'nin $G$'nin elemanlariyla soldan carpma altinda kapali oldugunu gostermistik. Ayni argumani kullanarak sagdan carpma altinda da ayni seyin gecerli oldugunu soyleyebilir, ve yine ikinci soruda kullandigimiz argumanla, $N_G \mathbb{Z}$'nin bir sag ideal oldugunu gosterebiliriz. Bunun $N_G$'yi iceren en kucuk sag ideal oldugu bariz. O halde, $N_G  A = N_G \mathbb{Z}$. Ve, $\mathbb{Z} = \mathbb{Z} 1 \subset Z(A)$ oldugu icin (yani tam sayilar halkamizin merkezinde yer aldigi icin) $\mathbb{Z} N_G = N_G \mathbb{Z}$, O halde, $$N_G A = \mathbb{Z} N_G$$

Gordugumuz gibi hem $A^G$, hem de $N_G A$ altgruplari norm altgrubuna esit. Yani esitlik saglandi: $$A_G = N_G A = \mathbb{Z}N_G$$

Gelelim $_{N_G}A$'ya. Burada, $_{N_G}A = Ann(N_G) = Ann(\mathbb{Z} N_G) = I_G$ esitlikleri var. Sondaki esitlik bir onceki sorudan geliyor $^{***}$. Yani, $$_{N_G}A = I_G$$

Son olarak $I_G A$. Burada da $I_G$ ile gerilen sag ideale bakiyoruz. $I_G$ kendisi de bir sag ideal. O halde, $$I_G A = I_G$$

Demek ki, yine esitlik var: $$_{N_G}A = I_G A = I_G$$

(9) Son olarak, $A = L^{\times}$ ve $G = Gal(L/K)$ ornegine bakalim. $A$'nin bir $G$-modul oldugunu gostermeyecegim. Ama $G$'nin $A$'nin uzerine bariz etkisinin $\sigma \cdot a = \sigma(a)$ oldugunu soylemek istiyorum. Ayrica, $A$'nin bir carpimsal bir grup oldugunu da unutmayalim bu durumda. Norm ve artis ideallerinin tanimini sadece $\mathbb{Z}[G]$ icin yapmis olsak da daha once, o sorudan yola cikarak bunlarin nasil tanimlanmasi gerektigini gorebiliriz -ki asagida da bunu yapacagiz.

$A^G$ ile baslayalim. Eger, bir eleman butun otomorfizmalar tarafindan sabitleniyorsa, genislememiz Galois genislemesi oldugundan (Galois genislemesi olmasaydi sorun cikar miydi?): $$A^G = K$$

$N_G A$'yi bulmak icin oncelikle $N_G$'nin ne oldugunu bulmamiz lazim. Hilbert 90 sorusunda vermis oldugumuz cevapta, her seyin carpimsal yazildigini da goz onunde bulundurursak bunun o sorudaki norm homomorfizmasinin imgesine esit oldugunu gorebiliriz. (Ikinci sorunun 4. kismindaki esartis homomorfizmasiyla iliskisi?)

$_{N_G}A$ kumesi, tam da tanimlar itibariyle $\ker N_{L/K}$ olmali.

$I_G A$ kumesini bulmak icinse, $I_G$'nin ne oldugunu soylemeliyiz oncelikle. 2. sorunun ilk iki altsorusundan yola cikarak bunu da $\ker N_{L/K} $ olarak tanimlarsam, esitligi gostermis olurum.


Yalniz, Hilbert 90'i hic kullanmadim? Sanirim bir yerde hata yaptim, ya da $I_G$'nin tanimini yanlis yaptim.

----------------------------------------

$^*$$X$'i bir grup alarak bu soru dizisindeki gibi $G$-modulleri, ya da $X$'i bir halka alarak bildigimiz anlamda (sol) modulleri dusunebiliriz. Argumanimiz ayni olacak iki durumda da. Ayrica, bu kadar uzatmaya gerek yok, direkt (3)'ten baslayabiliriz. Ama bu yapiya biraz deginmek istedim.

$^{**}$ Sorudaki toplam $\sigma \in G - \{1\}$ uzerinden olacak, degil mi?

$^{***}$ Ancak, burada kucuk bir sorun var. Bir onceki sorudaki cevabimda soldan carpinca sifirlayan elemanlara bakmistim, burada sagdan carpinca sifirlayan elemanlara bakiyorum. O kanitta, her seyi diger taraftan carparak da yapabilirdim. Dolayisiyla aslinda sorun yok.

14, Temmuz, 2015 Ozgur (2,024 puan) tarafından  cevaplandı
2 gün önce Safak Ozden tarafından seçilmiş
...