(1) A bir X-modul olsun ∗. Tanimin bir parcasi olarak, her σ∈X icin ve her a,b∈A icin σ(a+b)=σa+σb oldugunu biliyoruz. Bunu baska bir sekilde soyleyecek olursak, her σ∈X icin, a↦σa seklinde tanimlanan fonksiyon A'dan A'ya bir grup homomorfizmasidir.
(2) X=G bir grup olsun. Her σ∈G icin ve her a∈A icin, (1)'den dolayi σ0=0 ve σ(−a)=−σ(a) olacaktir.
(3) Simdi, a,b∈AG olsun. Her σ∈G icin,
σ(a+b)=σa+σb=a+b, yani a+b de G'nin butun elemanlari tarafindan sabitleniyor. AG toplama altinda kapali.
σ0=0. Demek ki, 0'da sabitleniyor. Oyleyse, 0∈AG.
σ(−a)=−σa=−a. Demek ki, AG toplamsal tersler altinda da kapali.
Bu durumda, AG⊂A bir altgruptur.
(4) Bu serinin ilk sorusunda A'nin G-modul olmasinin, A'nin bir Z[G]-modul olmasi anlamina geldigini gormustuk. O halde, R=Z[G] alirsak, NG∈R ile (soldan) carpmanin verdigi grup endomorfizmasinin imgesi olan NGA da bir altgrup olacaktir. Ayni sekilde bu endomorfizmanin cekirdegi olan NGA da bir altgrup.
(5) Bunu nasil soyleyecegimi dusundum ama bulamadim. Eger, butun nσ'lari sifir alirsak elde ettigimiz IG elemani 0∈R oluyor. O halde, her aσ'yi ayni sectigimizi (aσ=a) dusunursek 0Ra=0G∈IGA olacaktir. Ayni sekilde, butun nσ'lari −nσ yaparsak, IGA'nin toplamsal tersler altinda kapali oldugunu da gorebiliriz. Simdi, sadece toplama altinda kapali oldugunu gostermek kaldi. x=∑σ∈G,σ≠1nσ(σ−1)aσ ve y=∑σ∈G,σ≠1mσ(σ−1)bσ olsun. aσ'lar ile bσ'lar farkli olabilir. Iki toplamdan birinde icerilmiyorsa, katsayisinin sifir oldugunu kabul ederek x=∑σ∈G,σ≠1nσ(σ−1)aσ ve y=∑σ∈G,σ≠1mσ(σ−1)aσ oldugunu kabul edersek, biraz cetrefilli de olsa toplami yazip, hayatimizi kurtarabiliriz gibi geliyor.∗∗
(6) Ikinci soruda, NG'nin G, nin elemanlariyla carpma altinda degismedigini gostermistik. Her σ∈G icin, σ(NGa)=(σNG)a=NGa. Bu nedenle, NGA⊂AG.
(7) Bir onceki soruda norm ve artis ideallerinin birbirlerinin sifirlayicilari oldugunu gostermistik. Dolayisiyla, once IG den bir elemanla, sonra NG ile carpmak sifir demek.
(8) Burada A=Z[G] alinirsa demek istiyoruz sanirim. Bu durumda ne olur? Inceleyelim.
Oncelike AG kumesine bakalim. a=∑σ∈Gaσσ∈A olsun. aσ katsayilarinin hepsi ayniysa, yani a∈ZNG ise, o zaman hangi grup elemaniyla carparsak carpalim a degismez. O halde, AG kumesi ZNG'yi icerir. Ama eger tum katsayilar ayni degilse, o zaman a'yi sabitlemeyen en az bir grup elemani vardir. Zira, a1≠aσ olacak sekilde bir σ olmak zorundadir. a'yi σ−1 ile carptigimizda 1'in katsayisi aσ olacak ve dolayisiyla σ−1a≠a olacak. Yani a∉AG olacak. Demek ki, G altinda degismeyen alt grup norm ideali (norm altgrubu) AG=ZNG
Simdi sira NGA'da. Bu, NG ile gerilen (sag) ideal. Ikinci soruda NG'nin G'nin elemanlariyla soldan carpma altinda kapali oldugunu gostermistik. Ayni argumani kullanarak sagdan carpma altinda da ayni seyin gecerli oldugunu soyleyebilir, ve yine ikinci soruda kullandigimiz argumanla, NGZ'nin bir sag ideal oldugunu gosterebiliriz. Bunun NG'yi iceren en kucuk sag ideal oldugu bariz. O halde, NGA=NGZ. Ve, Z=Z1⊂Z(A) oldugu icin (yani tam sayilar halkamizin merkezinde yer aldigi icin) ZNG=NGZ, O halde, NGA=ZNG
Gordugumuz gibi hem AG, hem de NGA altgruplari norm altgrubuna esit. Yani esitlik saglandi: AG=NGA=ZNG
Gelelim NGA'ya. Burada, NGA=Ann(NG)=Ann(ZNG)=IG esitlikleri var. Sondaki esitlik bir onceki sorudan geliyor ∗∗∗. Yani, NGA=IG
Son olarak IGA. Burada da IG ile gerilen sag ideale bakiyoruz. IG kendisi de bir sag ideal. O halde, IGA=IG
Demek ki, yine esitlik var: NGA=IGA=IG
(9) Son olarak, A=L× ve G=Gal(L/K) ornegine bakalim. A'nin bir G-modul oldugunu gostermeyecegim. Ama G'nin A'nin uzerine bariz etkisinin σ⋅a=σ(a) oldugunu soylemek istiyorum. Ayrica, A'nin bir carpimsal bir grup oldugunu da unutmayalim bu durumda. Norm ve artis ideallerinin tanimini sadece Z[G] icin yapmis olsak da daha once, o sorudan yola cikarak bunlarin nasil tanimlanmasi gerektigini gorebiliriz -ki asagida da bunu yapacagiz.
AG ile baslayalim. Eger, bir eleman butun otomorfizmalar tarafindan sabitleniyorsa, genislememiz Galois genislemesi oldugundan (Galois genislemesi olmasaydi sorun cikar miydi?): AG=K
NGA'yi bulmak icin oncelikle NG'nin ne oldugunu bulmamiz lazim. Hilbert 90 sorusunda vermis oldugumuz cevapta, her seyin carpimsal yazildigini da goz onunde bulundurursak bunun o sorudaki norm homomorfizmasinin imgesine esit oldugunu gorebiliriz. (Ikinci sorunun 4. kismindaki esartis homomorfizmasiyla iliskisi?)
NGA kumesi, tam da tanimlar itibariyle kerNL/K olmali.
IGA kumesini bulmak icinse, IG'nin ne oldugunu soylemeliyiz oncelikle. 2. sorunun ilk iki altsorusundan yola cikarak bunu da kerNL/K olarak tanimlarsam, esitligi gostermis olurum.
Yalniz, Hilbert 90'i hic kullanmadim? Sanirim bir yerde hata yaptim, ya da IG'nin tanimini yanlis yaptim.
----------------------------------------
∗X'i bir grup alarak bu soru dizisindeki gibi G-modulleri, ya da X'i bir halka alarak bildigimiz anlamda (sol) modulleri dusunebiliriz. Argumanimiz ayni olacak iki durumda da. Ayrica, bu kadar uzatmaya gerek yok, direkt (3)'ten baslayabiliriz. Ama bu yapiya biraz deginmek istedim.
∗∗ Sorudaki toplam σ∈G−{1} uzerinden olacak, degil mi?
∗∗∗ Ancak, burada kucuk bir sorun var. Bir onceki sorudaki cevabimda soldan carpinca sifirlayan elemanlara bakmistim, burada sagdan carpinca sifirlayan elemanlara bakiyorum. O kanitta, her seyi diger taraftan carparak da yapabilirdim. Dolayisiyla aslinda sorun yok.