Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
666 kez görüntülendi

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz.


A bir G-modül olsun. A'nın sabit grubu AG şu şekilde tanımlanır: AG:={aA:σa=a:σG} A'nın norm grubu NGA:={NGa:aA}biçiminde tanımlanır. IGA ve NGA altgrupları da şu şekilde tanımlanır:NGA:={aA:NGa=0}; IGA:{σGnσ(σaσaσ:aσA}.

Tanımlanan bütün altgrupların gerçekten birer altgrup olduklarını, NGAAG ve   IGANGA içerme ilişkilerinin doğru olduğunu gösterin. A=Z[A] alınırsa bu grupların artış ya da norm altgruplarıyla ilişkisinin ne olduğunu bulun. Bu durumda bu soruda tanımlanan altgrupların birbirine eşitliklerini inceleyin.

L/K Galois genişlemesi olsun A=L×, G=Gal(L/K) olsun. Bu durumda burada tanımlanmış grupların ne olduğunu bulun ve Hilbert 90'ı kullanarak IGA=NGA olduğunu gösterin.
Akademik Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 666 kez görüntülendi

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun beşincisi. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

Biz daha once IG ve NG'yi grup halkasi icin tanimlamistik sadece (soru 2). Ona bakarak bir seyler soylemeye calistim son kisim icin ama ne kadar dogru yaptim emin degilim. 

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

(1) A bir X-modul olsun . Tanimin bir parcasi olarak, her σX icin ve her a,bA icin  σ(a+b)=σa+σb oldugunu biliyoruz. Bunu baska bir sekilde soyleyecek olursak, her σX icin, aσa seklinde tanimlanan fonksiyon A'dan A'ya bir grup homomorfizmasidir.

(2) X=G bir grup olsun. Her σG icin ve her aA icin, (1)'den dolayi σ0=0 ve σ(a)=σ(a) olacaktir.

(3) Simdi, a,bAG olsun. Her σG icin, 

σ(a+b)=σa+σb=a+b, yani a+b de G'nin butun elemanlari tarafindan sabitleniyor. AG toplama altinda kapali.

σ0=0. Demek ki, 0'da sabitleniyor. Oyleyse, 0AG.

σ(a)=σa=a. Demek ki, AG toplamsal tersler altinda da kapali.

Bu durumda, AGA bir altgruptur.

(4) Bu serinin ilk sorusunda A'nin G-modul olmasinin, A'nin bir Z[G]-modul olmasi anlamina geldigini gormustuk. O halde, R=Z[G] alirsak, NGR ile (soldan) carpmanin verdigi grup endomorfizmasinin imgesi olan NGA da bir altgrup olacaktir. Ayni sekilde bu endomorfizmanin cekirdegi olan NGA da bir altgrup.

(5) Bunu nasil soyleyecegimi dusundum ama bulamadim. Eger, butun nσ'lari sifir alirsak elde ettigimiz IG elemani 0R oluyor. O halde, her aσ'yi ayni sectigimizi (aσ=a) dusunursek 0Ra=0GIGA olacaktir. Ayni sekilde, butun nσ'lari nσ yaparsak, IGA'nin toplamsal tersler altinda kapali oldugunu da gorebiliriz. Simdi, sadece toplama altinda kapali oldugunu gostermek kaldi. x=σG,σ1nσ(σ1)aσ ve y=σG,σ1mσ(σ1)bσ olsun. aσ'lar ile bσ'lar farkli olabilir. Iki toplamdan birinde icerilmiyorsa, katsayisinin sifir oldugunu kabul ederek x=σG,σ1nσ(σ1)aσ ve y=σG,σ1mσ(σ1)aσ oldugunu kabul edersek, biraz cetrefilli de olsa toplami yazip, hayatimizi kurtarabiliriz gibi geliyor.

(6) Ikinci soruda, NG'nin G, nin elemanlariyla carpma altinda degismedigini gostermistik. Her σG icin, σ(NGa)=(σNG)a=NGa. Bu nedenle, NGAAG.

(7) Bir onceki soruda norm ve artis ideallerinin birbirlerinin sifirlayicilari oldugunu gostermistik. Dolayisiyla, once IG den bir elemanla, sonra NG ile carpmak sifir demek.

(8) Burada A=Z[G] alinirsa demek istiyoruz sanirim. Bu durumda ne olur? Inceleyelim. 

Oncelike AG kumesine bakalim. a=σGaσσA olsun. aσ katsayilarinin hepsi ayniysa, yani aZNG ise, o zaman hangi grup elemaniyla carparsak carpalim a degismez. O halde, AG kumesi ZNG'yi icerir. Ama eger tum katsayilar ayni degilse, o zaman a'yi sabitlemeyen en az bir grup elemani vardir. Zira, a1aσ olacak sekilde bir σ olmak zorundadir. a'yi σ1 ile carptigimizda 1'in katsayisi aσ olacak ve dolayisiyla σ1aa olacak. Yani aAG olacak. Demek ki, G altinda degismeyen alt grup norm ideali (norm altgrubu) AG=ZNG

Simdi sira NGA'da. Bu, NG ile gerilen (sag) ideal. Ikinci soruda NG'nin G'nin elemanlariyla soldan carpma altinda kapali oldugunu gostermistik. Ayni argumani kullanarak sagdan carpma altinda da ayni seyin gecerli oldugunu soyleyebilir, ve yine ikinci soruda kullandigimiz argumanla, NGZ'nin bir sag ideal oldugunu gosterebiliriz. Bunun NG'yi iceren en kucuk sag ideal oldugu bariz. O halde, NGA=NGZ. Ve, Z=Z1Z(A) oldugu icin (yani tam sayilar halkamizin merkezinde yer aldigi icin) ZNG=NGZ, O halde, NGA=ZNG

Gordugumuz gibi hem AG, hem de NGA altgruplari norm altgrubuna esit. Yani esitlik saglandi: AG=NGA=ZNG

Gelelim NGA'ya. Burada, NGA=Ann(NG)=Ann(ZNG)=IG esitlikleri var. Sondaki esitlik bir onceki sorudan geliyor . Yani, NGA=IG

Son olarak IGA. Burada da IG ile gerilen sag ideale bakiyoruz. IG kendisi de bir sag ideal. O halde, IGA=IG

Demek ki, yine esitlik var: NGA=IGA=IG

(9) Son olarak, A=L× ve G=Gal(L/K) ornegine bakalim. A'nin bir G-modul oldugunu gostermeyecegim. Ama G'nin A'nin uzerine bariz etkisinin σa=σ(a) oldugunu soylemek istiyorum. Ayrica, A'nin bir carpimsal bir grup oldugunu da unutmayalim bu durumda. Norm ve artis ideallerinin tanimini sadece Z[G] icin yapmis olsak da daha once, o sorudan yola cikarak bunlarin nasil tanimlanmasi gerektigini gorebiliriz -ki asagida da bunu yapacagiz.

AG ile baslayalim. Eger, bir eleman butun otomorfizmalar tarafindan sabitleniyorsa, genislememiz Galois genislemesi oldugundan (Galois genislemesi olmasaydi sorun cikar miydi?): AG=K

NGA'yi bulmak icin oncelikle NG'nin ne oldugunu bulmamiz lazim. Hilbert 90 sorusunda vermis oldugumuz cevapta, her seyin carpimsal yazildigini da goz onunde bulundurursak bunun o sorudaki norm homomorfizmasinin imgesine esit oldugunu gorebiliriz. (Ikinci sorunun 4. kismindaki esartis homomorfizmasiyla iliskisi?)

NGA kumesi, tam da tanimlar itibariyle kerNL/K olmali.

IGA kumesini bulmak icinse, IG'nin ne oldugunu soylemeliyiz oncelikle. 2. sorunun ilk iki altsorusundan yola cikarak bunu da kerNL/K olarak tanimlarsam, esitligi gostermis olurum.


Yalniz, Hilbert 90'i hic kullanmadim? Sanirim bir yerde hata yaptim, ya da IG'nin tanimini yanlis yaptim.

----------------------------------------

X'i bir grup alarak bu soru dizisindeki gibi G-modulleri, ya da X'i bir halka alarak bildigimiz anlamda (sol) modulleri dusunebiliriz. Argumanimiz ayni olacak iki durumda da. Ayrica, bu kadar uzatmaya gerek yok, direkt (3)'ten baslayabiliriz. Ama bu yapiya biraz deginmek istedim.

Sorudaki toplam σG{1} uzerinden olacak, degil mi?

Ancak, burada kucuk bir sorun var. Bir onceki sorudaki cevabimda soldan carpinca sifirlayan elemanlara bakmistim, burada sagdan carpinca sifirlayan elemanlara bakiyorum. O kanitta, her seyi diger taraftan carparak da yapabilirdim. Dolayisiyla aslinda sorun yok.

(2.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,878 kullanıcı