Düşük boyutlu kohomoloji gruplarını hesaplayınız

Question

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz.

Comments

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun onyedincisi. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

Answer 1

$i=-1,0,1$ için $H^i(G,A)$ gruplarını hesaplayacağız. Bunun için buradaki hesabı kullanacağız. 

[$i=-1$ durumu]: Bu durumda $\ker(\delta_0)$ ile $im(\delta_{-1})$'i hesaplamalıyız. Sözü geçen hesaba göre $\delta_0(x)=N_G\cdot x$. Bu demektir ki

$$\ker(\delta_0)=\{x\in A:N_G\cdot x=0\}=_{N_G}A$$ Aynı nedenle $$Im(\delta_{-1})=I_GA$$ Bu iki bilgiyi birleştirerek şu sonucu elde ederiz: $$H^{-1}(G,A)=_{N_G}A/I_GA$$ (Bkz: Bir $G$-modülün önemli altmodülleri)

[$i=0$ durumu] Bu durumda $\ker (\delta_1)$ ile $im(\delta_0)$'ı hesaplamalıyız. $\delta_0$ fonksiyonu $N_G$ ile çarpma olduğu için, soğal olarak $im(\delta_0)=N_G\cdot A$. Öte yandan $x\in A$ elemanının $\ker(\delta_1)$'de olması demek $\delta_1(x):G\longrightarrow A$ fonksiyonunun $0$ fonksiyonu olması demke. $\delta_1$'in tanımını kullanırsak $\delta_1(x)$ fonksiyonunun $\sigma\in G$'deki değerinin

$$\sigma x-x$$ olduğunu görürüz. Demek ki $\delta_1(x)$ fonksiyonunun sıfır olması için, $\sigma x-x$ değernin her $\sigma$ için sıfır olması gerekir. Yani $$x\in\ker \delta_1\Leftrightarrow \sigma x-x=0;\;\forall \sigma\in G\Leftrightarrow x\in A^G$$ Bu iki bilgiyi kullanarak $$H^0(G,A)=A^G/N_G\cdot A$$ olduğu bulunur. Bu grup, sınıf cisim kuramının kalbinde yatan gruptur ve norm kalıntı grubu (norm residue group) olarak adlandırılır.

Answer 2

Yarım bıraktığım hesaba $H^1(G,A)$ grubunu hesaplayarak devam edeyim. Bu hesap da, $i=-1,0$ durumları gibi klasik bir hesap. Şuranın sonunda bulduğumuz homomorfizmaları kullanacağız hesabı yapmak için. Tanım gereği

$$H^1(G,A)=\ker(\delta_2)/im(\delta_1)$$ ve 

1. $x\in C(G,A)$ ise $\delta_2(x)(\sigma_1,\sigma_2)=\sigma_1\cdot x(\sigma_2)-x(\sigma_1 \sigma_2)+\sigma(\sigma_1)$;
2. $x\in A$ ise $\delta_1(x)(\sigma)=\sigma x-x$.

O halde eğer $x\in ker(\delta_1)$ ise  $$0=$x(\sigma_1,\sigma_2)=\sigma_1\cdot x(\sigma_2)-x(\sigma_1 \sigma_2)+\sigma(\sigma_1)$$ demek bu da $$x(\sigma_1 \sigma_2)=\sigma_1\cdot x(\sigma_2)+\sigma(\sigma_1)$$ demek. Dikkat edilirse $x$ fonksiyonu neredeyse homomorfizma. Yukarıdaki şartı sağlayan fonksiyonlara bu nedenle çarpık homomorfizma (crossed homomorphism) denir. Buradan da $H^1(G,A)$'nın çarpık homomorfizmlar modulo $\sigma\longmapsto \sigma a-a$ biçiminde fonksiyonlar olduğu görülür. Eğer $A$ üzerindeki $G$-etkisi basitse, yani $\sigma\cdot a=a$ ise her zaman, bu durumda $\sigma\longmapsto \sigma a-a$ tipindeki fonksiyonlar sıfır olacaktır. Öte yandan etki böyle olunca $\sigma_1 x(\sigma_2)=x(\sigma_2)$ olacağı için çarpık morfizmalar da otomatikman homomorfizma olacaktır. O halde şu sonucu elde etmiş olduk:

Eğer $G$'nin $A$ üzerindeki etkisi basitse $$H^1(G,A)=Hom(G,A)$$ olur. Özel olarak, mesela $A=\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ alınırsa bu $$H^1(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})=G^*$$ demek.