Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz.


Z[G] grup halkasına bağlı artış ideali (augmentation ideal) IG şu şekilde tanımlanır: IG:={σGnσσ:σGnσ=0}.

G grubuna bağlı norm elemanı NG şu şekilde tanımlanır: NG:=σGσZ[G]

  1. σGnσσσGnσ kuralıyla tanımlanış ϵ:Z[G]Z fonksiyonunun halka homomorfizması olduğunu gösterin. Bu homomorfizmaya Artış morfizması (augmentation homomorphism) denir. 
  2. Artış idealinin, artış homomorfizmasının çekirdeği olduğunu göstererek artış idealinin gerçek bir ideal olduğunu ispatlayın.
  3. Norm elemanının G'nin elemanlarıyla çarpma altında değişmediğini gösterin ve bunu kullanarak ZNG
    kümesinin Z[G]'nin bir ideali olduğunu gösterin. Bu ideale norm ideali denir.
  4. nnNG kuralıyla tanımlanmış μ:ZZ[G] fonksiyonunun bir halka homomorfizması (eşartış- coaugmentation) olduğunu gösterin ve bu homomorfizmanın imgesinin norm idealine eşit olduğunu gösterin.
  5. Birinci ve ikinci kısmı kullanarak bir kısa net dizi (short exact sequence) oluşturun.
  6. Üçüncü ve dördüncü kısmı kullanarak bir kısa net dizi oluşturun.
Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun ikincisi. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

Benden duymus olma ama bu galiba dokuzuncu degil ikinci soru.

Sağol. Düzelttim.

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
1. Yazinca cikiyor. Carpmayi dogru sekilde aldigimizda, herhangi bir cinlik gerektirmeden sonuc cikiyor. Toplamsallik da abelyen grup yapisindan geliyor. 

2. Cekirdegin tanimindan dolayi.

3.
 gG olsun. gNG=gσσ=σgσ

(Bu noktada, G'nin sonlu oldugunu kullaniyorum. G={σ:σG}={gσ:σG}. Yani, ilk toplamimiz, ikinci toplamimizin aynisi. Cunku, G grup oldugu icin g1 var ve σgσ fonksiyonu birebir ve G sonlu oldugu icin, birebirlik ortenligi gerektiriyor.)

Dolayisiyla, gNG=σgσ=σσ=NG

Simdi, ZNG'nin ideal oldugunu gosterelim. NG tarafindan gerilmis sonsuz dongusel gruptan bahsediyoruz. Dolayisiyla, bir altgrup var elimizde. r=gnggZ[G] alalim. r(nNG)=nrNG oldugu icin, rNGZ[G] oldugunu gostermek yeterli.rNG=(gngg)(σσ)=gng(gσσ)
ama ikinci toplamin NG oldugunu yukarida gosterdik. Demek ki, aslinda rNG sadece NG'nin bazi katlarinin toplamiymis. Yani, Z[G]'de.

4. NGNG=(σσ)NG=σ(σNg)=σNG=|G|NG.

O halde, μ(a+b)=(a+b)NG=aNG+bNG=μ(a)+μ(b)
ve
μ(ab)=abNGμ(a)μ(b)=aNGbNG=abNGNG=ab|G|NG

Burada kafam karisiyor. Halka homomorfizmasi oldugunu gosteremiyorum. 

Ama μ bir grup homomorfizmasi ve imgesi haliyle ZNG.

5. Hangi kategoride kisa net dizi? Elimde sadece abelyen grup morfizmalari oldugu icin abelyen gruplar kategorisindeyim su an. Birinci kisimdaki ϵ grup homomorfizmasinin orten oldugu bariz. Herhangi bir gG icin ngZ[G] elemani n'ye gider. Yani, Z[G]Z0 dizisi net bir dizi. Dolayisiyla elimizde 0kerϵZ[G]Z0
kisa net dizisi var. Ikinci kisimdan dolayi da 0IGZ[G]Z0
var.

6. μ:ZZ[G]'nin cekirdeginin sifir oldugu goruluyor. Demek ki, 0ZZ[G] net dizimiz var. Dolayisiyla, elimizde 0ZZ\cokerμ0
var. Dorduncu kisimdan dolayi da \cokerμ'nun Z[G]/ZNG oldugunu biliyoruz.
(2.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Özgür merhaba;

4. de halka homomorfizmasını gösterirken μ(ab)=(ab).NG ifadesi Z[G] deki çarpma işlemi olarak düşünülmeli. Yani; bir tamsayı ile Z[G] nin elemanını çarpamayız. Bunu şöyle anlıyorum: μ(ab)=(ab).σGσ=((ab)1+(ab)1+...+(ab)1)(σGσ).(Burada 1 ile grubun birim elemanını gösterdim). Dolayısıyla seninde diğer yönü gördüğün gibi eşitlik çıkacaktır. Yani halka homomorfizmasıdır.

Bir tamsayi ile Z[G]'nin elemanini carparken, sadece Z[G]'nin abelyen grup olmasini kullaniyorum? Ornegin, 2NG=NG+NG ya da nNG=NG++NG (n kere toplama), negatif tam sayilar icinse bunlarin toplama islemine gore tersini dusunuyorum. Dolayisiyla, tam sayilarla carpma sikinti olmamali diye dusunuyorum. Bir de ab'yi nasil (ab)1++(ab)1 olarak yazdiginizi anlayamadim. Kac tane ab var orada? ab=2 dersek mesela, oradaki toplam ne olacak?

Bir tamsayı ile Z[G] nin elemanını çarpmıyoruz aslında. Z[G] yi halka yapmadaki çarpımı kullanıyoruz diye düşünüyorum. 
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.  ϵ:Z[G]Z fonksiyonu için

ϵ((σGnσσ)(αGmαα))=ϵ(σGαGnσmα(σα))=σGαGnσmα=σGnσαGmα olup çarpma işlemi korunur. Toplama da benzer şekilde gösterilebilinir. Toplamada gözükmeyen adamlar yerine katsayı sıfır alınır.

2. Kerϵ={σGnσσσGnσ=0} artış ideali elde edilir.

3.  τG için τNG=NG midir?

xNG için x=σGσ=τ1σGτ(τ1σ)=ττ1σG(τ1σ)τNG elde edilir. Diğer yön her zaman var. Z.NG elemanlarını; Z deki elamanlar ile NG deki elemanların çarpımlarının sonlu toplamı olarak mı düşüneceğiz? Yoksa Z deki bir eleman ve NG deki bir elemanın çarpımı gibi mi? Aslında nasıl düşünürsek düşünelim ideal olmada sıkıntı çıkmıyor.

4.  Imμ={n.NGnZ}=Z.NG ve μ fonksiyonunun homomorfizma olduğu görülebilir.

5. 0IGZ[G]Z0, IG den Z[G] ye içerme ve Z[G] den Z ye ϵ fonksiyonları var. Fonksiyonlardan birinin görüntüsü diğerinin çekirdeğine eşit olduğundan dizi ve solda 0 ile başladık yani bire-bir sağda 0 ile bitirdik yani örten. Dolayısıyla dizi tam.

6. 0ZZ[G]Z/Z.NG0, Z den Z[G] ye μ ve Z[G] den Z/Z.NG ye izdüşüm fonksiyonları mevcut.

(1.5k puan) tarafından 

Ucuncu soru icin: NG bir kume degil ki?

Özgür doğru söylüyorsun ya. O bir eleman. Iyi de bu Şafak niye beni uyarmadı ki ;) bir ara hepsini kontrol edeyim. 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,846 kullanıcı