1. Yazinca cikiyor. Carpmayi dogru sekilde aldigimizda, herhangi bir cinlik gerektirmeden sonuc cikiyor. Toplamsallik da abelyen grup yapisindan geliyor.
2. Cekirdegin tanimindan dolayi.
3. g∈G olsun. gNG=g∑σσ=∑σgσ.
(Bu noktada, G'nin sonlu oldugunu kullaniyorum. G={σ:σ∈G}={gσ:σ∈G}. Yani, ilk toplamimiz, ikinci toplamimizin aynisi. Cunku, G grup oldugu icin g−1 var ve σ↦gσ fonksiyonu birebir ve G sonlu oldugu icin, birebirlik ortenligi gerektiriyor.)
Dolayisiyla, gNG=∑σgσ=∑σσ=NG.
Simdi,
ZNG'nin ideal oldugunu gosterelim.
NG tarafindan gerilmis sonsuz dongusel gruptan bahsediyoruz. Dolayisiyla, bir altgrup var elimizde.
r=∑gngg∈Z[G] alalim.
r(nNG)=nrNG oldugu icin,
rNG∈Z[G] oldugunu gostermek yeterli.
rNG=(∑gngg)(∑σσ)=∑gng(g∑σσ)
ama ikinci toplamin NG oldugunu yukarida gosterdik. Demek ki, aslinda rNG sadece NG'nin bazi katlarinin toplamiymis. Yani, Z[G]'de.
4. NGNG=(∑σσ)NG=∑σ(σNg)=∑σNG=|G|NG.
O halde, μ(a+b)=(a+b)NG=aNG+bNG=μ(a)+μ(b)
ve
μ(ab)=abNG≠μ(a)μ(b)=aNGbNG=abNGNG=ab|G|NG
Burada kafam karisiyor. Halka homomorfizmasi oldugunu gosteremiyorum.
Ama μ bir grup homomorfizmasi ve imgesi haliyle ZNG.
5. Hangi kategoride kisa net dizi? Elimde sadece abelyen grup morfizmalari oldugu icin abelyen gruplar kategorisindeyim su an. Birinci kisimdaki
ϵ grup homomorfizmasinin orten oldugu bariz. Herhangi bir
g∈G icin
ng∈Z[G] elemani
n'ye gider. Yani,
Z[G]→Z→0 dizisi net bir dizi. Dolayisiyla elimizde
0→kerϵ→Z[G]→Z→0
kisa net dizisi var. Ikinci kisimdan dolayi da
0→IG→Z[G]→Z→0
var.
6. μ:Z→Z[G]'nin cekirdeginin sifir oldugu goruluyor. Demek ki,
0→Z→Z[G] net dizimiz var. Dolayisiyla, elimizde
0→Z→Z→\cokerμ→0
var. Dorduncu kisimdan dolayi da
\cokerμ'nun
Z[G]/ZNG oldugunu biliyoruz.