Birinci kohomoloji grubu neyi ölçer?

Question

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz lütfen.

$A,B,C$ birer $G$-modül, $f\in Hom_G(A,B)$, $g\in Hom_G(B,C)$ ve $$0\longrightarrow A\stackrel{f}{\longrightarrow} B \stackrel{g}{\longrightarrow} C\longrightarrow 0$$ bir kısa net dizi (short exact sequence) olsun. Bu durumda (Bkz: G-modül morfizmaları) elde edilen $$0\longrightarrow A^G\stackrel{f}{\longrightarrow} B^G \stackrel{g}{\longrightarrow} C^G$$ dizisinin de net olduğunu gösteriniz.

Yukarıda dikkat edilirse, dizinin sonunda $0$ yok (dikkat edilmese de görülmeyecek gibi değil hani). Bunun nedeni, $g$'nin $B$ile $C$'yi örtmesinin $B^G$ ile $C^G$'yi örtmeye yetmiyor olması. Evet, $C$'deki her eleman $B$'deki bir elemanın görüntüsü. Ama $C^G\subseteq C$ içinden alınan bir elemanın $B$'deki öngörüntüsü $B^G$ içinde olmayabilir.

Soruya devam... 

Amacımız $C^G$'den $H^1(G,A)$'ya bir homomorfizma tanımlamak. $c\in C^G\subseteq C$ olsun. Bu durumda $B$ içinde $g(b)=c$ şartını sağlayan bir eleman vardır (vardır değil mi? Hadi gösterin bunu). 

1. Bu $b$ elemanı için $$g(\sigma(b)-b)=0$$ eşitliğinin her $\sigma\in G$ için doğru olduğunu gösterin ve buradan her $\sigma\in G$ için $\sigma(b)-b\in B$ elemanının $\ker(g)$'de olduğu sonucunu çıkartın. 
2. Buradan da her $\sigma\in G$ için $A$'nın içinde, görüntüsü $\sigma(b)-b$'ye eşit olan bir eleman (bu elemana $a_{\sigma}$ diyelim) olduğu sonucunu çıkartın.
   
3. Bir önceki adımda $\sigma$ için $a_{\sigma}$ elemanı bulduk. Böylece $G$'den $A$'ya bir fonksiyon tarif edebiliriz. $f_b:G\longrightarrow A$'yı şöyle tanımlayalım. $$\sigma\stackrel{f_b}{\longmapsto} a_{\sigma}$$ $f_b$ fonksiyonunun bir çarpık homomorfizma (crossed homomorphism) olduğunu gösterin. Yani $$f_b(\sigma\tau)=\sigma f_b(\tau)+f_b(\sigma)$$ eşitliğinin her $\sigma,\tau\in G$ için doğru olduğunu ispatlayınız.
4. Eğer yukarıdaki işlemi yaparken $B$ içinden $b$ yerine görüntüsü $c$ olan başka bir $b'$ elemanı alsaydık ve $f_{b'}$ fonksiyonunu tanımlasaydık ne olurdu? $$f_b-f_{b'}\in im(\delta_1)$$ olduğunu gösterin.
5. Bütün bunlardan $$c\longmapsto f_b+im(\delta_1)$$ eşlemesinin $C^G$'den $H^1(G,A)$'ya bir $G$-homomorfizma tanımladığını sonucunu çıkartın. 
6. Sonuçta elde edilen $$0\longrightarrow A^G\stackrel{f}{\longrightarrow} B^G \stackrel{g}{\longrightarrow} C^G\longrightarrow H^1(G,A)$$ dizisinin net olduğunu gösterin.
7. Homolojik cebirdeki yılan yardımcı teoremi (Snake lemma) nedir, göz atmakta yarar var.
8. Yeri gelmişken $f$ fonksiyonunun yardımıyla $H^1(G,A)$'dan $H^1(G,B)$'ye giden bir $G$-homomorfizması tanımlayın.
9. Tanımladığınız $G$-homomorfizmasını en son elde ettiğiniz net dizinin ucuna dizinin netliğini bozmadan iliştirebilir misiniz?
10. Bunu böyle ne kadar sürdürebiliriz?

Comments

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun ondokuzuncusu. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer