Hom işleminin düz (flat) olduğu bir başka durum

0 beğenilme 0 beğenilmeme
29 kez görüntülendi

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz lütfen.


$\{X_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$, serbest $\mathbb{Z}$-modüllerinden oluşan bir aile olsun.(Bunun serbest abelyen gruplardan oluşan bir aile almak olduğunun farkına varın). $D$ de herhangi bir $\mathbb{Z}$-modül olsun. Eğer $$\cdots\longleftarrow^{d_{q-1}}X_{q-1}\longleftarrow^{d_{q}}X_{q}\longleftarrow^{d_{q+1}}X_{q+1}\longleftarrow^{d_{q+2}}\cdots$$ dizisi net (exact) ise $$\cdots\longrightarrow^{d^*_{q-1}} Hom(X_{q-1},D)\longrightarrow^{d^*_{q}} Hom(X_{q},D)\longrightarrow^{d^*_{q+1}} Hom(X_{q+1},D)\longrightarrow^{d^*_{q+1}} \cdots$$dizisi de nettir. İspatlayın. 



Notlar ve ipucu:


Bu yeni dizideki oklar geri çekme ile elde edilen oklar: (http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme) Eğer $f\in Hom(X_q,D)$'nin bir elemanı ise $$d^{*}_{q+1}(f)=f\circ d_{q+1}\in Hom(X_{q+1},D)$$biçiminde tanımlanır.


Dizinin netliğini göstermek için $$\ker({d^*_{q+1}})=im({d^*_{q+1}})$$eşitliğini ispatlamak gerek. Bu eşitliğin $$\ker({d^*_{q+1}})\supseteq im({d^*_{q+1}})$$ kısmı $X_i$'lerin serbest olmasından bağımsız olarak her zaman doğrudur. Bunu göstermek için $d^*_i$ fonksiyonlarının tanımını ve $d_{i}\circ d_{i+1}=0$ bilgisini kullanmak yeterli. Diğer içerme ilişkisini göstermek için serbest abelyen bir grubun altgrubunun da serbest abelyen bir grup olduğu ve içinde bulunduğu grubun bir direk toplam parçası (direct summand) olduğunu kullanmak gerek. Elimizde, ilk net dizi nedeniyle şöyle bir kısa net dizi bulunmakta: $$0\leftarrow im (d_q)\leftarrow^{d_{q}}X_q\leftarrow \ker d_{q}\leftarrow 0$$ Az önceki anımsatma gereği bu kısa net çizgi bize $$im(d_q)\oplus \ker(d_{q})\simeq X_q$$ izomorfizmasını verir. Bu bilgiyi şöyle kullanabiliriz. Diyelim ki $f\in \ker(d^*_{q+1})$ olsun. Bu, tanım gereği $f\circ d_{q+1}=0$ demek. Öte yandan $d_{q+1}\circ d_q=0$ olduğu için $f$ otomatik olarak $im(d_q)$ üzerinde sıfırdır. Yani $f$'nin $\ker(d_q)$ üzerindeki davranışı $f$'yi tamamen belirler. Şimdi ispatı bitirmek için $Hom(X_{q-1},D)$ içinde görüntüsü $f$ olan bir homomorfizma bulmamız gerek. Ama tıpkı $X_q$ için olduğu gibi $X_{q-1}$'in de bir parçalanışı var: $$X_{q-1}\simeq im(d_{q-1})\oplus \ker d_{q-1}\simeq ker(d_{q})\oplus \ker d_{q-1}$$ İkinci eşitlik için orjinal dizimizin net olduğunu kullandık. Şimdi tek tapmak gereken, buradan $f$'e bir öngörüntü bulmak.


$X_q$'lar serbest değil de izdüşümsel olsaydı ne olurdu?

26, Mayıs, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun onbirincisi. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

...