Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz lütfen.
{Xn}n∈Z, serbest Z-modüllerinden oluşan bir aile olsun.(Bunun serbest abelyen gruplardan oluşan bir aile almak olduğunun farkına varın). D de herhangi bir Z-modül olsun. Eğer ⋯⟵dq−1Xq−1⟵dqXq⟵dq+1Xq+1⟵dq+2⋯
dizisi net (exact) ise
⋯⟶d∗q−1Hom(Xq−1,D)⟶d∗qHom(Xq,D)⟶d∗q+1Hom(Xq+1,D)⟶d∗q+1⋯
dizisi de nettir. İspatlayın.
Notlar ve ipucu:
Bu yeni dizideki oklar geri çekme ile elde edilen oklar: (http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme) Eğer f∈Hom(Xq,D)'nin bir elemanı ise d∗q+1(f)=f∘dq+1∈Hom(Xq+1,D)
biçiminde tanımlanır.
Dizinin netliğini göstermek için ker(d∗q+1)=im(d∗q+1)
eşitliğini ispatlamak gerek. Bu eşitliğin
ker(d∗q+1)⊇im(d∗q+1)
kısmı
Xi'lerin serbest olmasından bağımsız olarak her zaman doğrudur. Bunu göstermek için
d∗i fonksiyonlarının tanımını ve
di∘di+1=0 bilgisini kullanmak yeterli. Diğer içerme ilişkisini göstermek için serbest abelyen bir grubun altgrubunun da serbest abelyen bir grup olduğu ve içinde bulunduğu grubun bir direk toplam parçası (direct summand) olduğunu kullanmak gerek. Elimizde, ilk net dizi nedeniyle şöyle bir kısa net dizi bulunmakta:
0←im(dq)←dqXq←kerdq←0
Az önceki anımsatma gereği bu kısa net çizgi bize
im(dq)⊕ker(dq)≃Xq
izomorfizmasını verir. Bu bilgiyi şöyle kullanabiliriz. Diyelim ki
f∈ker(d∗q+1) olsun. Bu, tanım gereği
f∘dq+1=0 demek. Öte yandan
dq+1∘dq=0 olduğu için
f otomatik olarak
im(dq) üzerinde sıfırdır. Yani
f'nin
ker(dq) üzerindeki davranışı
f'yi tamamen belirler. Şimdi ispatı bitirmek için
Hom(Xq−1,D) içinde görüntüsü
f olan bir homomorfizma bulmamız gerek. Ama tıpkı
Xq için olduğu gibi
Xq−1'in de bir parçalanışı var:
Xq−1≃im(dq−1)⊕kerdq−1≃ker(dq)⊕kerdq−1
İkinci eşitlik için orjinal dizimizin net olduğunu kullandık. Şimdi tek tapmak gereken, buradan
f'e bir öngörüntü bulmak.
Xq'lar serbest değil de izdüşümsel olsaydı ne olurdu?