Yarı-direk çarpım nedir?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
164 kez görüntülendi

Diyelim ki elimizde gruplardan oluşan şu biçimde bir kısa net dizi (short exact sequence) olsun: $$0\longrightarrow A\stackrel{i}{\longrightarrow} G\stackrel{j}{\longrightarrow} H\longrightarrow 0$$Yani $i$ birebir, $j$ örten ve $im(i)=\ker(j)$. $A$ grubumuzun değişmeli olduğunu varsayalım ve $X$ kümesi de $G$ içinde $H$ için temsiciler kümesi olsun. Temsilciler kümesi demek $H$'deki her $h$ için $X$ içinde $j(g_h)=h$ eşitliğini sağlayan biricik bir $g_h$ elemanı mevcut demek. Bu aslında  $f:H\longrightarrow G$ biçiminde ve $$j\circ f=id_H\qquad\qquad(*)$$koşulunu sağlayan $f$ fonksiyonu vermekle aynı şeydir. $X$ verildiğinde $f_X$ (yani $X$ yardımıyla tanımlanan $(*)$ koşulunu sağlayan fonksiyon), $h\longmapsto g_h$ kuralıyla tanımlanır.

  1. $f$ verildiğinde $X_f$ nasıl tanımlanır?
  2. $f\longmapsto X_f$ ve $X\longmapsto f_X$ işlemlerinin birbirinin tersi olduğunu gösterin.
  3. Diğer her şeyden bağımsız olarak, yukarıdaki gibi kısa net bir dizi varsa $$G/H\simeq A$$ olduğunu gösteriniz. Bu bakış açısıyla yukarıdaki gibi bir $X$ kümesi almak demek $G/H$ koset uzayı için temsilciler kümesi seçmek demek.
  4. $f$, yukarıdaki $(*)$ koşulunu sağlayan bir fonksiyon olsun. Eğer $f$ bir grup homomorfizmasıysa $$G\simeq A\oplus H$$grup izomorfizmasının doğru olduğunu, aradaki izomorfizmayı açık biçimde yazarak ispatlayın.
  5. $G$ ve$ A\oplus H$ grupları izomorflarsa $H$'den $G$'ye $(*)$ şartını sağlayan bir $f$ homomorfizmasının varolduğunu ispatlayın.

Sorunun buraya kadar olan kısmı ikinci sınıf cebir dersi konularından ibaret. Şimdi bundan azıcık daha öteye gideceğiz. 

  1. $A\times X$ kümesinden $G$'ye tanımlanmış $$(a,x)\longmapsto ax$$ fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu gösterin.
  2. Bir önceki soruda ispatladığınız savın Türkçe söylenişinin şu olduğu konusunda kendinizi ikna edin: $G$'nin her elemanı $A$'dan ve $X$'ten birer elemanın çarpımına eşittir ve bu elemanlar biriciktir. $g\in G$ elemanını bulmak için aldığımı $a\in A$ ve $x\in X$ elemanları değiştirirsek kesin olarak $g$'den başka bir eleman buluruz. (Bu soru formalizme aşina olmayan kişiler için. Soruyu anında yapamıyorsanız, bu soru sizin için demek, es geçmeyin.)

Şimdi $G$'nin elemanlarının $ax$ ($a\in A, x\in X$) biçiminde ifade edilebildiğini gördük. Peki bu şekilde ifadelerini bildiğimiz $g_1,g_2$ elemanları alsak, $g_1\cdot g_2$ elemanının bu biçimde ifadesi hakkında ne söyleyebiliriz? İşte sorunun bundan sonraki kısmı, bu konu üzerine yoğunlaşıyor.

  1. $A$ değişmeli grubunu $i(A)$ ile özdeş görebiliriz, zira $i$ birebir bir homomorfizma. Sorunun başında verilen dizinin net olduğunu kullanarak $A$'nın $G$'nin normal bir altgrubu olduğunu ispatlayın.
  2. $A$'nın normal olduğunu kullanarak her $a\in A$ ve $g\in X$ için $$g\cdot a=a^g\cdot g$$eşitliğini sağlayan biricik bir $a^g\in A$ elemanının var olduğunu ispatlayın.
  3. Bir önceki kısmı kullanarak $H$ grubunun $A$ grubu üzerindeki etkisini şu şekilde tanımlayınız: Eğer $h\in H$ ve $a\in A$ ise $$h(a):=a^{g_h}$$olsun. Bu tanımla beraber $A$'nın bir $H$-modül yapısı kazandığını gösterin.
  4. $A\times H$ kümesi üzerinde bir çarpma tanımlayacağız. Kural şu: $(a_1,h_1),(a_2,h_2)\in A\times H$ için $$(a_1,h_1)\cdot(a_2,h_2):=(a_1h_1(a_2),h_1h_2)$$Bu çarpmanın $A\times H$ kümesi üzerinde bir grup yapısı tarif ettiğini gösterin. 
  5. Bir önceki kısımda bulduğunuz grubun $G$ grubuna izomorf olduğunu gösterin.


Bu durumda $G$ grubu $A$ ile $H$'nin yarı-direk çarpımına eşit denir ve bu durum $$G\simeq A\rtimes H$$yazarak gösterilir. Bu tanım yeterince açık değil ama. Devamı için tıklayınız!
29, Mayıs, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,250 puan) tarafından  soruldu
31, Mayıs, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

tık                                

Vaktim yok, yazamadım. Önce ikinci kohomoloji sousu yazmam gerek.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$G$ bir grup, $H~,~K$; $G$ nin altgrupları olsun. Eğer $\forall g\in G$ için $g=hk$ olacak şekilde $h\in H$ ve $k\in K$ var ve bu yazılış tek türlü ($H\cap K=\{1\}$) ve $H\lhd G$(normal) ise $G$ ye $H$ ve $K$ altgruplarının yarı-direk çarpımı denir. Ve $G=H\rtimes K$ ile gösterilir.

1) $D_n$ Dihedral grubu olmak üzere $D_{n}=\Bbb{Z}/n\Bbb{Z}\rtimes \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ şeklindedir.

2) Küpün otomorfizma grubu $S_3$ simetrik grubu göstermek üzere; $(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^3\rtimes S_3$ şeklindedir.

3) $l-$boyutlu Öklid uzay $\Bbb{R}^{l}$ olmak üzere $(\Bbb{Z}/2\Bbb{Z})^l\rtimes S_l$ Öklid yansıma grubudur.
1, Haziran, 2015 Handan (1,482 puan) tarafından  cevaplandı

Sorunun kendisine değil de başlığa verilmiş olmuş sanırım yanıt.

Evet Şafak, başlığa verdim yanıtı.  Sonra yukarıdaki 10 soruyu da cevaplayacağım. Bu arada soruların(homoloji) bitti mi?

Hayır, yalnızca zamanım yok bugünlerde. devam edeceğim.

Bu verdiğin üçüncü örnek hyper-octahedral grup olarak da biliniyor. $S_{2n}$ içinde $(2i-1\;2i)$ biçimdeki bütün elemanların merkezleyeni olan grup.

Bilmezmiyim. Ne çektim ben bu gruplardan ve bunların genelleştirilmelerinden :)
...