Soruyu cevaplamadan once norm homomorfizmasinin ne oldugunu hatirlayalim. "norm" ve "galois" diye aradim ama sitede bununla ilgili bir sonuc bulamadim. Umarim tekrar degildir.
1. NL/K grup homomorfizmasi.
L ve K sorudaki gibi olsun ve G=Gal(L/K) diyelim.NL/K:L→L
fonksiyonunu
NL/K(l)=∏σ∈Gσ(l)
olarak tanimlayalim. Bundan sonra
NL/K yerine
N yazacagim sadece. Buna biraz dikkatli bakacak olursak, her
τ∈G icin
τ(N(l))=τ(∏σ∈Gσ(l))=∏σ∈Gτσ(l)=N(l)
oldugunu goruyoruz. Son esitligin sebebi
G={σ:σ∈G} ile
{τσ:σ∈G} kumelerinin ayni olmasi. Yani, carptigimiz seyler ayni. Carpim,
G'nin butun elemanlari uzerinden. Ama, eger
L'nin bir elemani butun
τ'lar tarafindan sabitleniyorsa, bu eleman
K da olmak zorunda! Demek ki aslinda elimizde fonksiyon,
N:L→K
seklinde bir fonksiyon. Ote yandan,
l≠0 ise,
σ bir otomorfizma oldugu icin,
σ(l)≠0. Dolayisiyla, butun
σ(l)'lerin carpimi da sifirdan farkli. O halde,
N(l)≠0. Su halde, elimizdeki fonksiyonu
N:L×→K×
olacak sekilde kisitlayabiliriz. Bundan sonra, fonksiyonumuzun
L×'dan
K×'a gittigini dusunecegiz.
l1,l2∈L× olsun.
N(l1l2)=∏σ∈Gσ(l1l2)=∏σ∈Gσ(l1)σ(l2)=∏σ∈Gσ(l1)∏σ∈Gσ(l2)=N(l1)N(l2)
oldugundan,
N:L×→K× bir grup homomorfizmasidir.
2. Sorunun cevabi.
Simdi, L/K genislemesinin dongusel oldugunu, yani G'nin dongusel bir grup oldugunu varsayalim. τ∈G, G'nin bir ureteci olsun. Yani, G={id,τ,τ2,…,τt} (G, t+1 elemanli elemanliymis diyelim.). σ=τn∈G olsun. a∈L× ve b=σ(a) olsun. N(b)=∏α∈Gα(b)=t∏i=0τi(b)=t∏i=0τi(σ(a))=t∏i=0τi(τn(a))=t∏i=0τn+i(a)
ve dongusellikten dolayi,
t∏i=0τn+i(a)=t∏i=0τi(a)
ama
t∏i=0τi(a)=N(a)
O halde, sunu gorduk
N(σ(a))=N(b)=N(a)
Bir baska deyisle,
N(σ(a)a)=1
Demek ki, her
σ∈G ve her
a∈L× icin
σ(a)a∈kerN
Diger taraf cetrefilli. Daha kolay bir yolu vardir mutlaka, ben goremedim bir turlu. c∈kerN olsun. Amacimiz, c'nin σ(a)a seklinde yazilabilecegini gostermek olacak. Boylece esitligi saglamis olacagiz. Baslayalim. f:L→L
fonksiyonunu
f(a)=cτ(a)
olarak tanimlayalim.
f(a+b)=c(τ(a+b))=c(τ(a)+τ(b))=cτ(a)+cτ(b)
ve
λ∈K icin
f(λa)=cτ(λa)=cλτ(a)=λcτ(a)=λf(a)
Yani,
f fonksiyonu
K-lineer. Dikkatli bakarsak gorebilecegimiz uzere,
f2(a)=f(f(a))=f(cτ(a))=cτ(cτ(a))=cτ(c)τ2(a)
Ayni sekilde, tumevarimla
fk(a)=cτ(c)τ2(c)…τk−1(c)τk(a)
oldugunu gosterebiliriz. O halde,
ft+1(a)=N(c)τt+1(a)=1.a=a
Demek ki,
ft+1=id
. Ve ayrica biliyoruz ki
k<t+1 icin
fk≠id
Bu durumda, Cayley-Hamilton teoremini kullanarak
f'nin minimal polinomunun
xt−1−1 oldugunu gorebiliyoruz. Bu da
1'in bir oz-deger oldugunu dolayisiyla,
f'in bir sabit noktasi oldugunu soyluyor. Yani,
f(a)=a olacak sekilde bir
a var. Bu ne demek? Bir
a icin,
a=f(a)=cτ(a)
, yani
c=aτ(a)
Tam istedigim sey cikmadi,
τ yerine
σ=τ−1 yazalim ve
a yerine
a′=τ(a) koyalim.
c=σ(a′)a′
Istedigimiz de tam olarak buydu.