Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
794 kez görüntülendi

L/K bir Galois genişlemesi ve NL/K:L×K× bu genişlemeye bağlı norm homomorfizması olsun. L/K genişlemesi döngüsel bir genişleme olduğu durumda kerNL/K={σ(a)a:σGal(L/K),aL×}

eşitliğinin sağlandığını ispatlayın.

Akademik Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 794 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Soruyu cevaplamadan once norm homomorfizmasinin ne oldugunu hatirlayalim. "norm" ve "galois" diye aradim ama sitede bununla ilgili bir sonuc bulamadim. Umarim tekrar degildir.

1. NL/K grup homomorfizmasi.

L ve K sorudaki gibi olsun ve G=Gal(L/K) diyelim.NL/K:LL

fonksiyonunu NL/K(l)=σGσ(l)
olarak tanimlayalim. Bundan sonra NL/K yerine N yazacagim sadece. Buna biraz dikkatli bakacak olursak, her τG icin τ(N(l))=τ(σGσ(l))=σGτσ(l)=N(l)
oldugunu goruyoruz. Son esitligin sebebi G={σ:σG} ile {τσ:σG} kumelerinin ayni olmasi. Yani, carptigimiz seyler ayni. Carpim, G'nin butun elemanlari uzerinden. Ama, eger L'nin bir elemani butun τ'lar tarafindan sabitleniyorsa, bu eleman K da olmak zorunda! Demek ki aslinda elimizde fonksiyon,N:LK
seklinde bir fonksiyon. Ote yandan, l0 ise, σ bir otomorfizma oldugu icin, σ(l)0. Dolayisiyla, butun σ(l)'lerin carpimi da sifirdan farkli. O halde, N(l)0. Su halde, elimizdeki fonksiyonu N:L×K×
olacak sekilde kisitlayabiliriz. Bundan sonra, fonksiyonumuzun L×'dan K×'a gittigini dusunecegiz. l1,l2L× olsun. N(l1l2)=σGσ(l1l2)=σGσ(l1)σ(l2)=σGσ(l1)σGσ(l2)=N(l1)N(l2)
oldugundan, N:L×K× bir grup homomorfizmasidir.

2. Sorunun cevabi.

Simdi, L/K genislemesinin dongusel oldugunu, yani G'nin dongusel bir grup oldugunu varsayalim. τG, G'nin bir ureteci olsun. Yani, G={id,τ,τ2,,τt} (G, t+1 elemanli elemanliymis diyelim.). σ=τnG olsun. aL× ve b=σ(a) olsun. N(b)=αGα(b)=ti=0τi(b)=ti=0τi(σ(a))=ti=0τi(τn(a))=ti=0τn+i(a)

  ve dongusellikten dolayi, ti=0τn+i(a)=ti=0τi(a)
ama ti=0τi(a)=N(a)
O halde, sunu gorduk N(σ(a))=N(b)=N(a)
Bir baska deyisle, N(σ(a)a)=1
Demek ki, her σG ve her aL× icin σ(a)akerN

Diger taraf cetrefilli. Daha kolay bir yolu vardir mutlaka, ben goremedim bir turlu. ckerN olsun. Amacimiz, c'nin σ(a)a seklinde yazilabilecegini gostermek olacak. Boylece esitligi saglamis olacagiz. Baslayalim. f:LL

fonksiyonunu f(a)=cτ(a)
olarak tanimlayalim. f(a+b)=c(τ(a+b))=c(τ(a)+τ(b))=cτ(a)+cτ(b)
ve λK icin f(λa)=cτ(λa)=cλτ(a)=λcτ(a)=λf(a)
Yani, f fonksiyonu K-lineer. Dikkatli bakarsak gorebilecegimiz uzere, f2(a)=f(f(a))=f(cτ(a))=cτ(cτ(a))=cτ(c)τ2(a)
Ayni sekilde, tumevarimla fk(a)=cτ(c)τ2(c)τk1(c)τk(a)
oldugunu gosterebiliriz. O halde, ft+1(a)=N(c)τt+1(a)=1.a=a
Demek ki, ft+1=id
. Ve ayrica biliyoruz ki k<t+1 icin fkid
Bu durumda, Cayley-Hamilton teoremini kullanarak f'nin minimal polinomunun xt11  oldugunu gorebiliyoruz. Bu da 1'in bir oz-deger oldugunu dolayisiyla, f'in bir sabit noktasi oldugunu soyluyor. Yani, f(a)=a olacak sekilde bir a var. Bu ne demek? Bir a icin, a=f(a)=cτ(a)
, yani c=aτ(a)
Tam istedigim sey cikmadi, τ yerine σ=τ1 yazalim ve a yerine a=τ(a) koyalim. c=σ(a)a
Istedigimiz de tam olarak buydu.

(2.5k puan) tarafından 

Cayley-Hamilton ile xt+11'i böldügünü göstermiş olmaz mıyız sadece? 

Ben de baya darlandim onu yazarken, dun gece yazarken gecerli sebeplerim olduguna inaniyordum. Su an o sebepleri hatirlayamiyorum.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,921 kullanıcı