Genel olarak, kohomoloji, (oldukça genel) bir kategoriden bir (cebirle ilgili, genellikle modüller) kategoriye (her $n\geq0$ için) (aralarında bazı doğal dönüşümler olan) kontravaryant $H^n$ funktorlar topluluğudur. (Her bir $n$ için başka bir "özelliği" yakalamayı amaçladığını düşünün.) Bu funktorlar, direkt toplam işlemi ile (çoğu kohomoloji teorisinde bir de çarpma işlemi vardır) dereceli halkalar kategorisine kontravaryant funktor şeklinde de düşünülebilir.
Singüler, Alexander-Spanier ve Cech kohomoloji (Cech kohomolojisi "sheaf" lerde de kullanılır) topolojik uzaylar kategorisinde, de Rham kohomolojisi, diferansiyellenebile manifoldlar kategorisinde; "cellular cohomology" CW kompleksler kategorisinde; simplisiyel kohomoloji simplisiyel uzaylar kategorisinde; grup kohomolojisi, gruplar kategorisinde, diğer sözü edilenler ise (galiba) cebirsel geometride kullanılan bazı kategorilerde tanımlıdır.
Eilenberg-McLane aksiyomları topolojik uzaylar kategorisinde tanımlı olanlar (homoloji veya kohomoloji) için sonlu polihedronlarda "aynı" sonucu vermesini (bir anlamda "tekliği") garanti eder.