Tensör çarpım üzerindeki $G$-modül yapısı

Question

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz.

$A$ ve $B$ birer $G$-modül olsunlar. Yani üzerilerinde $G$ etkisi olan abelyen birer grup. Her değişmeli grup doğal olarak bir $\mathbb{Z}$ modül yapısına sahiptir: Bir tamsayı ile çarpma, elemanı kendisiyle o tamsayı kere işleme sokmak demek. Bu nedenle $A\otimes B:= A\otimes_{\mathbb{Z}} B$ tensör çarpımı anlamlıdır. Bu tensör çarpımını $a\otimes b$, $a\in A, b\in B$ biçimindeki elemanlar üretir. Bu grup üzerinde aşağıdaki gibi bir $G$ çarpması üreteç kümesi üzerine şu şekilde tanımlayalım:$$\sigma\cdot(a\otimes b)=\sigma a\otimes \sigma b$$ve bu etkiyi bütün elemenlara lineer olarak genişletelim.

1. $a\otimes b$ elemanlarının $A\otimes B$ tensör çarpımını serbest biçimde üretmediği bir örnek verin.
2. Yukarıdaki biçimde tanımlanan $G$ etkisi aracılığıyla $A\otimes B$ grubunun bir $G$-modül yapısını kazandığını gösterin.
3. $A^G\otimes B^G$ tensör çarpımından $A\otimes B$ tensör çarpımına doğal bir homomorfizma olduğunu gösterin. Bu homomorfizma birebir ya da örten olmak zorunda mıdır?

Comments

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun yedincisi. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

---

Aslında bağlantılı sorularını numaralandırmış olsan takip etmemiz daha kolay olur?

---

Bittikten sonra, sorulara kendilerinden sonra gelen soruların linklerini de koyacağım.

Answer 1

(1) $$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} / 6\mathbb{Z}$$ serbest bir grup degildir. $^*$

(2) Bu serinin ilk sorusundaki tanimlari kontrol edelim:

• Ilk olarak $1 (a \otimes b) = 1a \otimes 1b = a \otimes b$. Burada ilk esitlik tanimdan, ikinci esitlik de $A$ ve $B$'nin $G$-modul olmasindan. Ve yine tanimdan oturu etkiyi lineer olarak genislettigimiz icin, bu yeterli.
• Kontrol etmemiz gereken ikinci sey, her $x, y \in A \otimes B$ ve $\sigma \in G$ icin, $\sigma(x + y) = \sigma x +\sigma y$ oldugu; yani $\sigma$ ile carpmanin grup homomorfizmasi oldugu. Bu direkt olarak etkinin lineer olarak genisletilmesinin sonucu. (Ama ben bunu kanitlamak icin 3 gundur dusunuyorum)
• Son olarak,$$\sigma(\tau(a \otimes b))=\sigma(\tau a \otimes \tau b) = \sigma(\tau a) \otimes \sigma(\tau b) = (\sigma \tau )a \otimes (\sigma \tau) b = (\sigma \tau)(a \otimes b)$$

Yani, tensor carpimi tanimlanan etkiyle gercekten de bir $G$-modul yapisi kazanmis oluyor.

(3) $A^G \subseteq A$ ve $B^G \subseteq B$ oldugu icin, $$i : A^G \otimes B^G \to A \otimes B$$ fonksiyonunu $$a \otimes b \mapsto a \otimes b$$ olarak ureteceler uzerinde tanimlayabilir ve bunu lineer olarak genisletebiliriz. Bu bariz olarak bir grup homomorfizmasi, ayni zamanda yine bariz bir sekilde $G$-modul homomorfizmasi.

Her seyi kendisine goturuyoruz, dogal olarak (?) bu birebir bir fonksiyon (dimi?). Ama orten olmayabilir. Bunun icin,

Oncelikle, bu serinin ilk sorusuna donelim yine. O sorudaki cevabimizda $A = \mathbb{Z}[G]$'nin abelyen grup olarak $\mathbb{Z}^n$'ye izomorf oldugunu gostermistik ($n = |G|$). Ek olarak, serinin besinci sorusunda  $A = \mathbb{Z}[G]$'nin sabit grubunun $\mathbb{Z}N_G \cong \mathbb{Z}$ oldugunu gormustuk. O halde, $$A^G \otimes A^G \cong \mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$$ ve $$A \otimes A \cong \mathbb{Z}^n \otimes \mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Z}^{n^2}$$ Demek ki bu iki grup izomorf olamazlar. Dolayisiyla, $i : A^G \otimes A^G \to A \otimes A$ birebir olmasina ragmen orten degil. 

Ama orten oldugu durumlar da olabilir. Ornegin, $A^G = A$ gibi basit bir etki olabilir.

-------

$^*$ Bu iki grubun neden izomorf olduklarina ve daha genel olarak tensor carpimina dair: https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/300_tensor.pdf

Duzeltme: da ayri

Comments

Peki bulabildin mi 3 günün sonunda?

---

Bulmuş ya işte. 

---

Evet, bulabilmiş.