Cisimlerin tensör çarpımı

Question

Bir $k$ cismi için, $K$ sonlu ve ayrılabilir (separable) bir cisim genişlemesi ve $\Omega$ rastgele bir cisim genişlemesi olsun. Gösteriniz ki bu durumda $K\otimes_{k}\Omega$, $\Omega$'nın ayrılabilir cisim genişlemelerinin sonlu çarpımıdır: $$K\otimes_{k}\Omega=\prod\limits_{i=1}^r \Omega_i$$

Bu durumda eğer $\alpha$, $K/k$ için ilkel (primitive) elemansa, $\alpha$'nın, $\Omega_i$ içindeki görüntüsü, $\alpha_i$ diyelim, $\Omega_i/\Omega$ için ilkel elemandır. Ayrıca $f(X)$ ve $f_i(X)$ sırasıyla $\alpha$ ve $\alpha_i$ elemanlarının minimal polinomlarıysa, o halde $$f(X)=\prod\limits_{i=1}^r f_i(X)$$ olur.