Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz lütfen.
$A,B,C$ birer $G$-modül, $f\in Hom_G(A,B)$, $g\in Hom_G(B,C)$ ve $$0\longrightarrow A\stackrel{f}{\longrightarrow} B \stackrel{g}{\longrightarrow} C\longrightarrow 0$$ bir kısa net dizi (short exact sequence) olsun. Bu durumda (Bkz: G-modül morfizmaları) elde edilen $$0\longrightarrow A^G\stackrel{f}{\longrightarrow} B^G \stackrel{g}{\longrightarrow} C^G$$dizisinin de net olduğunu gösteriniz.
Yukarıda dikkat edilirse, dizinin sonunda $0$ yok (dikkat edilmese de görülmeyecek gibi değil hani). Bunun nedeni, $g$'nin $B$ile $C$'yi örtmesinin $B^G$ ile $C^G$'yi örtmeye yetmiyor olması. Evet, $C$'deki her eleman $B$'deki bir elemanın görüntüsü. Ama $C^G\subseteq C$ içinden alınan bir elemanın $B$'deki öngörüntüsü $B^G$ içinde olmayabilir.
Soruya devam...
Amacımız $C^G$'den $H^1(G,A)$'ya bir homomorfizma tanımlamak. $c\in C^G\subseteq C$ olsun. Bu durumda $B$ içinde $g(b)=c$ şartını sağlayan bir eleman vardır (vardır değil mi? Hadi gösterin bunu).
-
Bu $b$ elemanı için $$g(\sigma(b)-b)=0$$ eşitliğinin her $\sigma\in G$ için doğru olduğunu gösterin ve buradan her $\sigma\in G$ için $\sigma(b)-b\in B$ elemanının $\ker(g)$'de olduğu sonucunu çıkartın.
-
Buradan da her $\sigma\in G$ için $A$'nın içinde, görüntüsü $\sigma(b)-b$'ye eşit olan bir eleman (bu elemana $a_{\sigma}$ diyelim) olduğu sonucunu çıkartın.
-
Bir önceki adımda $\sigma$ için $a_{\sigma}$ elemanı bulduk. Böylece $G$'den $A$'ya bir fonksiyon tarif edebiliriz. $f_b:G\longrightarrow A$'yı şöyle tanımlayalım.$$\sigma\stackrel{f_b}{\longmapsto} a_{\sigma}$$ $f_b$ fonksiyonunun bir çarpık homomorfizma (crossed homomorphism) olduğunu gösterin. Yani $$f_b(\sigma\tau)=\sigma f_b(\tau)+f_b(\sigma)$$eşitliğinin her $\sigma,\tau\in G$ için doğru olduğunu ispatlayınız.
-
Eğer yukarıdaki işlemi yaparken $B$ içinden $b$ yerine görüntüsü $c$ olan başka bir $b'$ elemanı alsaydık ve $f_{b'}$ fonksiyonunu tanımlasaydık ne olurdu? $$f_b-f_{b'}\in im(\delta_1)$$olduğunu gösterin.
-
Bütün bunlardan $$c\longmapsto f_b+im(\delta_1)$$eşlemesinin $C^G$'den $H^1(G,A)$'ya bir $G$-homomorfizma tanımladığını sonucunu çıkartın.
- Sonuçta elde edilen $$0\longrightarrow A^G\stackrel{f}{\longrightarrow} B^G \stackrel{g}{\longrightarrow} C^G\longrightarrow H^1(G,A)$$dizisinin net olduğunu gösterin.
-
Homolojik cebirdeki yılan yardımcı teoremi (Snake lemma) nedir, göz atmakta yarar var.
-
Yeri gelmişken $f$ fonksiyonunun yardımıyla $H^1(G,A)$'dan $H^1(G,B)$'ye giden bir $G$-homomorfizması tanımlayın.
-
Tanımladığınız $G$-homomorfizmasını en son elde ettiğiniz net dizinin ucuna dizinin netliğini bozmadan iliştirebilir misiniz?
-
Bunu böyle ne kadar sürdürebiliriz?