Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz lütfen.
$A,B,C$ serbest $\mathbb{Z}$-modüller ve $X$ herhangi bir $\mathbb{Z}$-modül olsun. Eğer $$0\longrightarrow A\longrightarrow^f B\longrightarrow^g C\longrightarrow 0$$ kısa net bir dizi (short exact sequence) ise (yani $f$ birebir, $g$ örten ve $im(f)=\ker(g)$) ise $$0\longrightarrow A\times X \longrightarrow^{f\otimes id_X} B\otimes X\longrightarrow^{g\otimes id_X} C\otimes X\longrightarrow 0$$dizisinin de net olduğunu gösterin.
Notlar ve ipuçları: Bir önceki sorunun ipucunda olduğu gibi, yeni dizinin bir zincir oluşturduğunu göstermek çok kolay (zincir: ardarda gelen iki okun bileşkesi sıfır demek). Öte yandan, bu zincirin net olduğunu gösterebilmek, zor olmasa da biraz meşakkatli. Eğer $g$ örten ise $g\otimes id_X$'in örten olduğu aşikar. Bu kısım için görüldüğü üzere serbestlik gerekmiyor. Ancak $f\otimes id_X$ için serbestlik gerekli (En alttaki ek soruygözden geçirin). $C$ serbest $Z$-modül olduğu için içinde bulunduğu her kısa net çizgi yarılacaktır (Bu bir cebir bilgisi. Serbest modüller, dahası izdüşümsel modüllerin bu özelliğe sahip olduğu halka teorisi dersinde ilk ispatlanan teoremlerden birisidir. Kendi başına ispatlamak da zor değildir.) Bu nedenle verilmiş kısa net çizgi ve $C$'nin serbestliği sayesinde $$B\simeq A\oplus C$$izomorfizması elde edilir. Buradan da (bkz: sekizinci soru) $$X\otimes B\simeq (A\otimes X)\oplus (C\otimes X)$$ izomorfizması elde edilir. Buradan (bir kaç uyumluluk şartının sağladığını göstererek) birebirlik hemencik görülebilir. İlk kısımda olduğu gibi, $im(f\otimes id_X)=\ker (g\otimes id_X)$ eşitliği her zaman doğrudur. Ancak bunu göstermek en meşakkatli kısım.
İlk ispatlanması gereken kısım şu yardımcı teorem: $\varphi:f\longmapsto \varphi(f)$ fonksiyonu $Hom(M\otimes N,P)$ grubundan $Hom(M,Hom(N,P))$ grubuna bir izomorfizma tanımlar. $\varphi(f):M\longrightarrow Hom(N,P)$ morfizması şu şekilde tanımlanmaktadır. $$\varphi(f)(m):n\longmapsto f(m\otimes n)$$Yani $$Hom(M\otimes N,P)\simeq Hom(M,Hom(N,P)).$$ Bu izomorfizma genellikle $Hom$ ile $\otimes$ birbirlerinin eşdönüşümleridir denilerek anlatılır (adjoint operator). Yukarda tanımlanmış $f\longmapsto \varphi(f)$ fonksiyonunun izomorfizma olduğunu göstermek bir hayli kolay. Yalnızca tensör çarpımın tanımlayıcı özelliğini kullanmak gerekiyor. Tabii ki yukarıda $M,N,P$ aynı halka üzerine modüller ve tensör çarpma o halka üzerinden yapılmakta.
İkinci ispatlamamız gereken yardımcı teorem de şu: $$M'\longrightarrow M\longrightarrow M''\longrightarrow 0$$ $\mathbb{Z}$-modüllerden oluşan bir dizi olsun. Bu dizinin net olması için gerek yeter şart her $\mathbb{Z}$-modül $P$ için $$0\longrightarrow Hom(M'',P)\longrightarrow Hom(M,P)\longrightarrow Hom(M',P)$$dizisinin net olmasıdır.
Bunu ispatlamak da bir hayli kolay. Şimdi bu iki yardımcı teoremi kullanarak asıl göstermek istediğimiz netliği göstermeye hazırız. Tek yapmamız gereken rastgele bir $\mathbb{Z}$-modül $P$ almak ve tensör işlemiyle elde ettiğimiz diziye $Hom(\cdot,P)$ uygulayıp yeni elde edilen $$0\longrightarrow Hom(C\otimes X,P)\longrightarrow Hom(B\otimes X,P)\longrightarrow Hom(A\otimes X,P)$$dizisinin net olduğunu göstermek. Ama ilk yardımcı teoremi kullanarak bu dizi yerine $$0\longrightarrow Hom(C,Hom(X,P))\longrightarrow Hom(B,Hom(X,P))\longrightarrow Hom(A,Hom(X,P))$$dizisinin net olduğunu göstermek yeterli. Bunu göstermek de sıradan bir işlem.
Ek soru: Serbestlik şartı ne kadar zayıflatılabilir?