Artış ideali ve norm ideali

Question

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz.

$\mathbb{Z}[G]$ grup halkasına bağlı artış ideali (augmentation ideal) $I_G$ şu şekilde tanımlanır: $$I_G:=\Big\{\sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}\cdot\sigma:\sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}=0\Big\}.$$ $G$ grubuna bağlı norm elemanı $N_G$ şu şekilde tanımlanır: $$N_G:=\sum_{\sigma\in G}\sigma\in\mathbb{Z}[G]$$

1. $\sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}\sigma\longmapsto \sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}$ kuralıyla tanımlanış $\epsilon:\mathbb{Z}[G]\longrightarrow \mathbb{Z}$ fonksiyonunun halka homomorfizması olduğunu gösterin. Bu homomorfizmaya Artış morfizması (augmentation homomorphism) denir. 
2. Artış idealinin, artış homomorfizmasının çekirdeği olduğunu göstererek artış idealinin gerçek bir ideal olduğunu ispatlayın.
3. Norm elemanının $G$'nin elemanlarıyla çarpma altında değişmediğini gösterin ve bunu kullanarak $$\mathbb{Z}\cdot N_G$$ kümesinin $\mathbb{Z}[G]$'nin bir ideali olduğunu gösterin. Bu ideale norm ideali denir.
4. $n\longmapsto n\cdot N_G$ kuralıyla tanımlanmış $\mu:\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}[G]$ fonksiyonunun bir halka homomorfizması (eşartış- coaugmentation) olduğunu gösterin ve bu homomorfizmanın imgesinin norm idealine eşit olduğunu gösterin.
5. Birinci ve ikinci kısmı kullanarak bir kısa net dizi (short exact sequence) oluşturun.
6. Üçüncü ve dördüncü kısmı kullanarak bir kısa net dizi oluşturun.

Comments

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun ikincisi. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

On dördüncü soru: http://matkafasi.com/11279/tam-serbest-cozunum-nedir

On beşinci soru: http://matkafasi.com/11308/stardart-cozunumun-serbest-cozunum-oldugunu-gosterebilirim

On altıncı soru: http://matkafasi.com/11330/kohomoloji-gruplarinin-tanimi-nedir

On yedinci soru: http://matkafasi.com/11348/dusuk-boyutlu-kohomoloji-gruplarini-hesaplayiniz

On sekizinci soru: http://matkafasi.com/11367/ikinci-kohomoloji-grubu-nedir

On dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11375/birinci-kohomoloji-grubu-neyi-olcer

---

Benden duymus olma ama bu galiba dokuzuncu degil ikinci soru.

---

Sağol. Düzelttim.

Answer 1

1. Yazinca cikiyor. Carpmayi dogru sekilde aldigimizda, herhangi bir cinlik gerektirmeden sonuc cikiyor. Toplamsallik da abelyen grup yapisindan geliyor. 

2. Cekirdegin tanimindan dolayi.

3. $g \in G$ olsun. $g N_G = g \sum_\sigma \sigma = \sum_\sigma g\sigma$. 

(Bu noktada, $G$'nin sonlu oldugunu kullaniyorum. $G = \{ \sigma : \sigma \in G  \} = \{ g\sigma : \sigma \in G\}$. Yani, ilk toplamimiz, ikinci toplamimizin aynisi. Cunku, $G$ grup oldugu icin $g^{-1}$ var ve $\sigma \mapsto g\sigma$ fonksiyonu birebir ve $G$ sonlu oldugu icin, birebirlik ortenligi gerektiriyor.)

Dolayisiyla, $g N_G = \sum_\sigma g \sigma = \sum_\sigma \sigma = N_G$. 

Simdi, $\mathbb{Z}N_G$'nin ideal oldugunu gosterelim. $N_G$ tarafindan gerilmis sonsuz dongusel gruptan bahsediyoruz. Dolayisiyla, bir altgrup var elimizde. $r = \sum_g n_g g \in \mathbb{Z}[G]$ alalim. $r(nN_G) = nrN_G$ oldugu icin, $rN_G \in \mathbb{Z}[G]$ oldugunu gostermek yeterli. $$rN_G = (\sum_g n_g g )(\sum_\sigma\sigma) = \sum_gn_g (g \sum_\sigma\sigma)$$

ama ikinci toplamin $N_G$ oldugunu yukarida gosterdik. Demek ki, aslinda $rN_G$ sadece $N_G$'nin bazi katlarinin toplamiymis. Yani, $\mathbb{Z}[G]$'de.

4. $N_G N_G = (\sum_\sigma \sigma)N_G = \sum_\sigma (\sigma N_g) = \sum_\sigma N_G = |G| N_G$.

O halde, $\mu(a  + b) = (a+b) N_G = aN_G + bN_G = \mu(a) + \mu(b)$

ve

$\mu(ab) = ab N_G \neq \mu(a)\mu(b) = aN_G bN_G = abN_GN_G = ab|G| N_G$

Burada kafam karisiyor. Halka homomorfizmasi oldugunu gosteremiyorum. 

Ama $\mu$ bir grup homomorfizmasi ve imgesi haliyle $\mathbb{Z}N_G$.

5. Hangi kategoride kisa net dizi? Elimde sadece abelyen grup morfizmalari oldugu icin abelyen gruplar kategorisindeyim su an. Birinci kisimdaki $\epsilon$ grup homomorfizmasinin orten oldugu bariz. Herhangi bir $g \in G$ icin $n g \in \mathbb{Z}[G]$ elemani $n$'ye gider. Yani, $\mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z} \to 0$ dizisi net bir dizi. Dolayisiyla elimizde $$0 \to \ker \epsilon \to \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z} \to 0$$ kisa net dizisi var. Ikinci kisimdan dolayi da $$0 \to I_G \to \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z} \to 0$$ var.

6. $\mu: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[G]$'nin cekirdeginin sifir oldugu goruluyor. Demek ki, $0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[G]$ net dizimiz var. Dolayisiyla, elimizde $$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \coker\mu \to 0$$ var. Dorduncu kisimdan dolayi da $\coker \mu$'nun $\mathbb{Z}[G] / \mathbb{Z}N_G$ oldugunu biliyoruz.

Comments

Özgür merhaba;

4. de halka homomorfizmasını gösterirken $\mu(ab)=(ab).N_{G}$ ifadesi $\Bbb{Z}[G]$ deki çarpma işlemi olarak düşünülmeli. Yani; bir tamsayı ile $\Bbb{Z}[G]$ nin elemanını çarpamayız. Bunu şöyle anlıyorum: $\mu(ab)=(ab).\sum_{\sigma\in G}\sigma=((ab)1+(ab)1+...+(ab)1)(\sum_{\sigma\in G}\sigma)$.(Burada $1$ ile grubun birim elemanını gösterdim). Dolayısıyla seninde diğer yönü gördüğün gibi eşitlik çıkacaktır. Yani halka homomorfizmasıdır.

---

Bir tamsayi ile $\mathbb{Z}[G]$'nin elemanini carparken, sadece $\mathbb{Z}[G]$'nin abelyen grup olmasini kullaniyorum? Ornegin, $2 N_G = N_G + N_G$ ya da $n N_G = N_G + \ldots + N_G$ ($n$ kere toplama), negatif tam sayilar icinse bunlarin toplama islemine gore tersini dusunuyorum. Dolayisiyla, tam sayilarla carpma sikinti olmamali diye dusunuyorum. Bir de $ab$'yi nasil $(ab) 1 + \ldots + (ab)1$ olarak yazdiginizi anlayamadim. Kac tane $ab$ var orada? $ab = 2$ dersek mesela, oradaki toplam ne olacak?

---

Bir tamsayı ile $Z[G]$ nin elemanını çarpmıyoruz aslında. $Z[G]$ yi halka yapmadaki çarpımı kullanıyoruz diye düşünüyorum. 

Answer 2

1.  $\epsilon: \Bbb{Z}[G]\rightarrow  \Bbb{Z}$ fonksiyonu için

$\displaystyle\epsilon\big((\sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}\sigma)(\sum_{\alpha\in G}m_{\alpha}\alpha)\big)=\epsilon\big(\sum_{\sigma\in G}\sum_{{\alpha \in G}}n_{\sigma}m_{\alpha}(\sigma\alpha)\big)=\sum_{\sigma\in G}\sum_{{\alpha \in G}}n_{\sigma}m_{\alpha}=\sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}\sum_{\alpha\in G}m_{\alpha}$ olup çarpma işlemi korunur. Toplama da benzer şekilde gösterilebilinir. Toplamada gözükmeyen adamlar yerine katsayı sıfır alınır.

2. $Ker\epsilon=\{\displaystyle\sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}\sigma\mid \sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}=0\}$ artış ideali elde edilir.

3.  $\forall \tau\in G$ için $\tau N_{G}=N_{G}$ midir?

$x\in N_{G}$ için $x=\displaystyle\sum_{\sigma\in G}\sigma=\sum_{\tau^{-1}\sigma\in G}\tau(\tau^{-1}\sigma)=\tau\sum_{\tau^{-1}\sigma\in G}(\tau^{-1}\sigma)\in \tau N_{G}$ elde edilir. Diğer yön her zaman var. $\Bbb{Z}.N_{G}$ elemanlarını; $\Bbb{Z}$ deki elamanlar ile $N_{G}$ deki elemanların çarpımlarının sonlu toplamı olarak mı düşüneceğiz? Yoksa $\Bbb{Z}$ deki bir eleman ve $N_{G}$ deki bir elemanın çarpımı gibi mi? Aslında nasıl düşünürsek düşünelim ideal olmada sıkıntı çıkmıyor.

4.  $Im \mu=\{n.N_{G}\mid n\in \Bbb{Z}\}=\Bbb{Z}.N_{G}$ ve $\mu$ fonksiyonunun homomorfizma olduğu görülebilir.

5. $0 \rightarrow I_{G} \rightarrow \Bbb{Z}[G]\rightarrow \Bbb{Z}\rightarrow 0$, $I_{G}$ den $\Bbb{Z}[G]$ ye içerme ve $\Bbb{Z}[G]$ den $\Bbb{Z}$ ye $\epsilon$ fonksiyonları var. Fonksiyonlardan birinin görüntüsü diğerinin çekirdeğine eşit olduğundan dizi ve solda $0$ ile başladık yani bire-bir sağda $0$ ile bitirdik yani örten. Dolayısıyla dizi tam.

6. $0 \rightarrow \Bbb{Z} \rightarrow \Bbb{Z}[G]\rightarrow \Bbb{Z}/\Bbb{Z}.N_{G}\rightarrow 0$, $\Bbb{Z}$ den $\Bbb{Z}[G]$ ye $\mu$ ve $\Bbb{Z}[G]$ den $\Bbb{Z}/\Bbb{Z}.N_{G}$ ye izdüşüm fonksiyonları mevcut.

Comments

Ucuncu soru icin: $N_G$ bir kume degil ki?

---

Özgür doğru söylüyorsun ya. O bir eleman. Iyi de bu Şafak niye beni uyarmadı ki ;) bir ara hepsini kontrol edeyim.