Bu yanıt, Neukirch'in Bonn Dersleri kitabının ilgili kısmının detaylandırılmış biçimde aktarımıdır.
Tam serbest çözünüm kohomoloji gruplarını tanımlamak için kullanılan bir alettir.
$G$ sonlu bir grup olsun. $G$'nin tam serbest çözünümü aşağıdaki biçimde ve aşağıdaki şartları sağlayan iki adet net diziden oluşur. Birinci dizi: $$0\longleftarrow \mathbb{Z}\stackrel{\epsilon}{\longleftarrow}X_0\stackrel{d_1}{\longleftarrow}X_1\stackrel{d_2}{\longleftarrow}X_2\stackrel{d_3}{\longleftarrow}\cdots$$İkinci dizi: $$\cdots\stackrel{d_{-3}}{\longleftarrow}X_{-3}\stackrel{d_{r-2}}{\longleftarrow} X_{-2}\stackrel{d_{-1}}{\longleftarrow}X_{-1}\stackrel{\mu}{\longleftarrow}\mathbb{Z}\longleftarrow 0$$ ve iki diziyi birbirine bağlayan $d_0:X_0\longrightarrow X_{-1}$.Şartlar:
-
$X_i$'lerin hepsi serbest $G$-modül (yani bir $G$-modül izomorfizmasıyla $\mathbb{Z}[G]$'lerin direk toplamına izomorf);
-
$\epsilon,\mu,d_i$'lerin hepsi $G$-modül homomorfizması (Tanım için buraya tıklayın);
-
$d_0=\mu\circ\epsilon$
-
Net olmaktan söz edilebilen her yerde netlik var. Yani $\ker d_i=im (d_{i+1})$, $i\in\mathbb{Z}$ ve ek olarak $\ker(\epsilon)=im (d_1)$, $im (\epsilon)=\mathbb{Z}$, vesaire.
Örnek: Bu örnek, kökleri topolojide olan bir tam serbest çözünüm örneği. Standart çözünüm (Standard resolution) olarak adlandırılır.
Öncelikle $X_i$'leri tanımlamamız gerek. $r\geq 1$ için $X_r$ ve $X_{-r-1}$ grubu, $G^r$ kümesi üzerinde serbestçe üretilmiş serbest $G$-modül olsun. Yani, tanım gereği $$X_r=X_{-r-1}=\bigoplus_{(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)\in G^r}\mathbb{Z}[G](\sigma_1,\cdots,\sigma_r)$$$r=0$ için de tanımı $$X_0=X_{-1}=\mathbb{Z}[G]$$ile veriyoruz. Açık ki, her $r\in\mathbb{Z}$ için $X_r$ serbest $G$-modülü. $X_0$ ve $X_{-1}$ için serbest üreteç olarak $1$ alındı. Şimdi bu modülleri ilişkilendiren $G$-modül morfizmalarını tanımlayacağız. Tanım biraz karışık gözükse de, korkutucu olmamalı. Çünkü pek çok durumda küçük boyutlar için yapılan hesaplamalar diğer boyutlar için de yeterli olacaktır (bkz:
boyut öteleme -dimension shifting).
Nasıl ki bir vektör uzayı üzerinde lineer bir fonksiyon tanımlamak için fonksiyonu baz üzerinde tanımlamak yeterliyse, serbest bir $G$ modül üzerinde bir $G$-homomorfizması tanımlamak için fonksiyonu baz üzerinde (serbest üreteçler) tanımlamak yeterli. Biz de öyle yapacağız.
-
$d_0(1)=N_G$ ($N_G$'nin tanımı için buraya bakınız);
-
$d_1(\sigma)=\sigma-1$
-
$r\geq 2$ için $$d_r(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)=\sigma_1(\sigma_2,\cdots,\sigma_r)\\+\sum_{i=1}^{r-1}(\sigma_1,\cdots,\sigma_{i-1},\sigma_i\cdot\sigma_{i+1},\sigma_{i+2},\cdots,\sigma_r)\\ +(-1)^r(\sigma_1,\cdots,\sigma_{q-1})$$
-
$d_{-1}=\sum_{\sigma\in G}[\sigma^{-1}(\sigma)-(\sigma)]$;
-
$-r-1\leq -2$ için $$d_{-r-1}(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)=\sum_{\sigma\in G}\sigma^{-1}(\sigma,\sigma_1,\cdots,\sigma_r)\\+\sum_{\sigma\in G}\sum_{i=1}^r(-1)^i(\sigma_1,\cdots,\sigma_{i-1},\sigma_i\sigma,\sigma^{-1},\sigma_{i+1},\cdots,\sigma_r)\\+\sum_{\sigma\in G}(-1)^{r+1}(\sigma_1,\cdots,\sigma_r,\sigma)$$
Son olarak $\epsilon$ ve $\mu$ fonksiyonlarını tanımlamalıyız: $\epsilon:X_0=\mathbb{Z}[G]\longrightarrow \mathbb{Z}$ fonksiyonunu artış fonksiyonu, $\mu:\mathbb{Z}\longrightarrow X_{-1}=\mathbb{Z}[G]$ eş artış fonksiyonu olarak tanımlıyoruz. Yani $$\epsilon(\sum_{\sigma\in G} n_{\sigma}\sigma)=\sum_{\sigma\in G} n_{\sigma}$$ve $$\mu(n)=n\cdot N_G$$ Bakınız
burası ve
burası.
Sonuçta elde edilen dizinin her noktada net (exact) olduğu gösterilebilir.