|xn−xn−1|=|xn−2−xn|=|xn−2−xn−2+xn−12|=|xn−2−xn−12|
|xn−xn−1|=12|xn−2−xn−1| olduğundan dizi büzen dizidir ve her büzen dizi Cauchy dizisi olduğundan
(xn)n dizisi yakınsaktır.
Dizinin öz yineleme(rekurans) bağıntısı
xn=12(xn−2+xn−1) sabit katsayılı homejen 2.derece bağıntıdır.
xn−2=1,xn−1=r,xn=r2 alırsak karakteristik denklem
2r2−r−1=0
ve
r1=1,r2=−1/2 olacağından
xn=(r1)nA+(r2)nB=A+(−1/2)nB
bulunur.
x1=A−B/2
x2=A+B/4
denklemleri çözülürse
A=2x2+x13
B=43(x2−x1)
xn=2x2+x13+43(x2−x1)(−1/2)n
olarak bulunur. Limite geçilirse
limxn=2x2+x13
olmalı.