Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
595 kez görüntülendi
x1,x2R,  x1<x2 ve her n>2 için xn:=12(xn2+xn1) olduğuna göre (xn)n dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz. Limitini bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 595 kez görüntülendi
Kısaca

|xnxn1|=|xn2xn|=|xn2xn2+xn12|=|xn2+xn12|

|xnxn1|=12|xn2+xn1|  olduğundan dizi büzen dizidir; dolayısıyla Cauchy dizisidir desek kabül olur mu Murad Hocam:)
Selam Alper. |xnxn1|=12|xn2+xn1|
değil de |xnxn1|=12|xn1xn2|
olsaydı büzüşen dizi olurdu. Ama |xnxn1|=12|xn2+xn1|
olması dizinin büzüşen (büzen) dizi olduğunu göstermez. Değil mi?
Şimdi fark ettim Alper. Sanırım bir işlem hatası yapmışsın. |xnxn1|=|xn2xn|=|xn2xn2+xn12|=|xn2+xn12|
değil de |xnxn1|=|xn2xn|=|xn2xn2+xn12|=|xn2xn12|
olur. Bu durumda da senin de mesajında ifade ettiğin gibi dizi büzüşen (büzen) bir dizi olur. Her büzüşen dizi, Cauchy dizisi ve her Cauchy dizisi de yakınsak olduğundan söz konusu dizi yakınsaktır.
Peki limitini nasıl buluruz?

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
|xnxn1|=|xn2xn|=|xn2xn2+xn12|=|xn2xn12|

|xnxn1|=12|xn2xn1|  olduğundan dizi büzen dizidir ve her büzen dizi Cauchy dizisi olduğundan (xn)n dizisi yakınsaktır.

Dizinin öz yineleme(rekurans) bağıntısı  xn=12(xn2+xn1)  sabit katsayılı homejen 2.derece bağıntıdır.

xn2=1,xn1=r,xn=r2 alırsak karakteristik denklem  2r2r1=0
 ve r1=1,r2=1/2 olacağından xn=(r1)nA+(r2)nB=A+(1/2)nB
bulunur. x1=AB/2
 x2=A+B/4
 denklemleri çözülürse  A=2x2+x13
 B=43(x2x1)
 xn=2x2+x13+43(x2x1)(1/2)n
olarak bulunur. Limite geçilirse limxn=2x2+x13
olmalı.
(3.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
|xnxn1|=12|xn2+xn1|
değil de |xnxn1|=12|xn2xn1|
olacak, değil mi?
Düzelttim Murad Hocam. Teşekkürler.
0 beğenilme 0 beğenilmeme
xn=12(xn2+xn1)
eşitliğinin her iki tarafından xn1 çıkartırsak xnxn1=12(xn1xn2)

elde edilir. Öte yandan yi:=xi+1xi
dersek yi=12yi1
olur. Buradan da yi=(1)i12i1y1
elde edilir. yn+1y1=Σni=1(yi+1yi)=Σni=1((1)i2iy1(1)i12i1y1)=Σni=1(1)i12i1y1(21)=3y1Σni=1(1)i12i1
olduğundan yn+1=y13y1Σni=1(1)i12i1
yani yn+1=(x2x1)3(x2x1)Σni=1(1)i12i1=(x2x1)3(x2x1)[23(1+(1)n12n)]
yani yn+1=(x2x1)2(x2x1)(1+(1)n12n)
olur. Her iki tarafın limiti alınırsa sonuç limnxn=(x2x1)3(x2x1)=2x12x2
bulunur.
(11.5k puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi
İşlem hataları var. Müsait bir zamanda tekrar ele alacağım.
20,288 soru
21,830 cevap
73,517 yorum
2,614,951 kullanıcı