Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
153 kez görüntülendi
$(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}},$  $0<x_1<2$ ve her $n\in \mathbb{N}$ için $x_{n+1}=\frac{6+6x_n}{7+x_n}$ olduğuna göre $(x_n)$ dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve limitini bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (10.5k puan) tarafından  | 153 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Her $n\in \mathbb{N}$ için $$0<x_n<2$$ olduğunu gösterelim.

Soruda $0<x_1<2$ verildiğinden $n=1$ için $0<x_1<2$ eşitsizliği doğru.

Şimdi belirli bir $n$ için $$0<x_n<2$$ olduğunu varsayıp $$0<x_{n+1}<2$$ olduğunu gösterelim.

$0<x_n<2\Rightarrow 7< 7+x_n<9$

$\Rightarrow \frac{1}{9}<\frac{1}{7+x_n}<\frac{1}{7}$

$\Rightarrow -\frac{36}{7}<-\frac{36}{7+x_n}<-\frac{36}{9}=-4$

$\Rightarrow 6-\frac{36}{7}<6-\frac{36}{7+x_n}<6-4=2$

$\Rightarrow 0<\frac{6}{7}<\underset{x_{n+1}}{\underbrace{\frac{6+6x_n}{7+x_n}}}<2$

$\Rightarrow 0<x_{n+1}<2$

Dolayısıyla her $n\in\mathbb{N}$ için $0<x_n<2$ elde edilir. Yani dizi hem alttan hem de üstten sınırlıdır.

 

Her $n\in\mathbb{N}$ için $$x_n<x_{n+1}$$ olduğunu gösterelim.

Her $n\in\mathbb{N}$ için $0<x_n<2$ olduğunu göstermiştik.

O halde her $n\in\mathbb{N}$ için

$0<x_n<2\Rightarrow -3<x_n<2\Rightarrow (-3<x_n \wedge x_n<2)$

$\Rightarrow (0<x_n+3 \wedge x_n-2<0)$

$\Rightarrow (x_n+3)(x_n-2) <0$

$\Rightarrow x_n^2+x_n-6 <0$

$\Rightarrow x_n^2+7x_n<6+6x_n$

$\Rightarrow x_n<\frac{6+6x_n}{7+x_n}=x_{n+1}$

elde edilir. Yani $(x_n)$ dizisi artandır.

 

$(x_n)$ dizisi hem artan hem de üstten sınırlı olduğundan Monoton Yakınsaklık Teoremi gereğince $(x_n)$ dizisi yakınsaktır. Dolayısıyla öyle bir $L$ gerçel sayısı vardır ki $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=L$ olur. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak, $(x_{n+1})<(x_n)$ ve $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=L$ olduğundan $\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=L$ olur.

$$x_{n+1}=\frac{6+6x_n}{7+x_n}\Rightarrow L=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{6+6x_n}{7+x_n}=\ldots =\frac{6+6L}{7+L}$$

$$\Rightarrow L^2+L-6=0$$

$$\Rightarrow L=-3 \vee L=2$$

Dizinin bütün terimleri pozitif olduğundan $L=-3$ olamaz.

O halde $\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=2$ olur.

(10.5k puan) tarafından 
19,507 soru
21,235 cevap
71,438 yorum
30,330 kullanıcı