Question

$(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$(x_{2n}\to L)(x_{2n+1}\to L)\Rightarrow x_n\to L$$ olduğunu gösteriniz.

Comments

dizi ustten sinirli ve dizi elemanlari arasindaki uzaklik $0$ a gidiyor bir isimize yarar mi ?

Edit: Su soruda sayesinde yaramayacagini gorebiliyoruz

Answer 1

$x_{2n}\to L$  ve  $x_{2n+1}\to L$ olsun. Amacımız verilmiş bir $\epsilon>0$ için dizinin kuyruğunun $L$ gerçel sayısının $\epsilon$ komşuluğu içinde kaldığını göstermek. $\epsilon>0$ verilmiş olsun.
 
$\left.\begin{array}{rr} x_{2n}\to L \\ \\ \epsilon>0\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists K_1\in\mathbb{N})(n>K_1\Rightarrow |x_{2n}-L|<\epsilon)$

$\Rightarrow (\exists K_1\in\mathbb{N})(n>K_1\Rightarrow x_{2n}\in (L-\epsilon,L+\epsilon))\ldots (1)$

$\left.\begin{array}{rr} x_{2n+1}\to L \\ \\ \epsilon>0\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists K_2\in\mathbb{N})(n>K_2\Rightarrow |x_{2n+1}-L|<\epsilon)$
 
$\Rightarrow (\exists K_2\in\mathbb{N})(n>K_2\Rightarrow x_{2n+1}\in (L-\epsilon,L+\epsilon))\ldots (2)$

Dolayısıyla $$K:=2\cdot\max\{K_1,K_2\}$$ seçilirse (Neden?) $$n>K\Rightarrow |x_n-L|<\epsilon$$ yani $$n>K\Rightarrow x_n\in (L-\epsilon,L+\epsilon)$$ koşulu sağlanır. O halde $$x_n\to L$$ olur.