Question

$x_1,x_2\in\mathbb{R},$  $x_1<x_2$ ve her $n>2$ için $x_n:=\frac{1}{3}x_{n-1}+\frac{2}{3}x_{n-2}$ olduğuna göre $(x_n)_n$ dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz. Limitini bulunuz.

Answer 1

$3x_n=x_{n-1}+2x_{n-2}$ denkleminin her iki tarafından $3x_{n-1}$ çıkartıp düzenlersek $$x_n-x_{n-1}=\dfrac{2}{3}(x_{n-2}-x_{n-1})$$ olduğundan $(x_n)_n$ büzen dizi, dolayısıyla Cauchy dizisi yani yakınsaktır. Karakteristik denklem $$3r^2-r-2=0$$   $r_1=-2/3$,  $r_2=1$  ve    $$x_n=r_1^nA+r_2^nB=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^nA+B$$ olur.

$n=1$  ve $n=2$  için   $$A=(9/10)(x_2-x_1)$$   $$B=(3/5)(6x_1-x_2)$$   $$x_n=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n(9/10)(x_2-x_1)+(3/5)(6x_1-x_2)$$  bulunur.

Limit alınırsa $$\lim x_n=\dfrac{18x_1-3x_2}{5}$$ olmalı.

Başlangıç koşulları olan  $x_1$  ve $x_2$ değerleri verilirse  limit değeri sayısal olarak bulunur.