Processing math: 36%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2k kez görüntülendi
x1=2 ve xn+1=2+1xn olmak üzere (xn)n dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz. Yakınsadığı noktayı bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 2k kez görüntülendi

Nereye yakınsadığı konusunda bir öngörünüz var mı? Bu dizinin ilk birkaç teriminin nasıl hareket ettiğine baktığınız mı? Bir dizinin yakınsak olduğunu göstermenin nasıl yollarını biliyorsunuz?

Sürekli bir kesir elde ediyoruz. Terimler Fibonocci dizisini andırıyor. 

Monoton yakınsaklık teoremi için çok güzel bir uygulama. Teşekkürler.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

İlk olarak şunu paylaşalım. Her nN için xn2 olduğunu görmek zor olmasa gerek.

|xn+1xn|=|2+1xn21xn1|=|xnxn1xnxn1|=|xnxn1||xn||xn1|1212|xnxn1|=14|xnxn1|

 

|xn+1xn|(14)n1|x2x1|=(14)n1(32)=(14)n1 bulunur. Buradan da 

|xmxn|=|xmxm1+xm+1xm2+xm+2+xn+1xn|

|xmxm1|+|xm+1xm2|++|xn+1xn|

(14)m1+(14)m2++(14)n

=(14)n(1+14++(14)mn1)

=(14)n1(14)mn11443(14)nn0 elde edilir. Yani (xn)n dizisi bir Cauchy dizisidir ve R'deki her Cauchy dizisi de yakınsak olduğundan (Nedenine buradan ulaşabilirsiniz) dizi yakınsaktır. Dizi yakınsak olduğundan lim olacak şekilde en az bir L\in\mathbb{R} vardır. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak olduğundan \lim x_{n+1}=L olur. O halde L=\lim x_{n+1}=\lim \left(2+\frac{1}{x_n}\right)=\lim 2+\lim \frac1{x_n}=\lim 2+\frac{1}{\lim {x_n}}=2+\frac1L

\Rightarrow

L=1\mp\sqrt{2} bulunur. Dizinin bütün terimleri 2'den büyük eşit olduğundan L=1-\sqrt{2} olamaz. O halde L=1+\sqrt{2} olmalıdır.

(11.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

ikinci satir sanki soyle olmali

|x(n+1)-x(n)| ≤ ((1/4)^(n-1)).1/2=2.(1/4)^n 

3 ve 4. satirlarda indisler de yanlis olmus

14)n

Burada şu şekilde de düşünebilir miydik 2<= xn <= 3 diye varsayım yapıp daha sonra da xn+1 in de bu aralıkta olduğunu gösterseydik
Evet. Her n\in\mathbb{N} için 2\leq x_n\leq 3 olduğu gösterilebilir.
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,101,079 kullanıcı