İlk olarak şunu paylaşalım. Her $n\in\mathbb{N}$ için $x_n\geq 2$ olduğunu görmek zor olmasa gerek.
$$|x_{n+1}-x_n|=\Big{|}2+\frac{1}{x_n}-2-\frac{1}{x_{n-1}}\Big{|}=\Big{|}\frac{x_n-x_{n-1}}{x_n x_{n-1}}\Big{|}=\frac{|x_n-x_{n-1}|}{|x_n|\cdot| x_{n-1}|}\leq \frac12\cdot\frac12\cdot|x_n-x_{n-1}|=\frac14\cdot|x_n-x_{n-1}|$$
$$\Rightarrow$$
$$ |x_{n+1}-x_n|\leq \left(\frac14\right)^{n-1}\cdot|x_2-x_1|=\left(\frac14\right)^{n-1}\cdot (3-2)=\left(\frac14\right)^{n-1}$$ bulunur. Buradan da
$|x_m-x_n|=|x_m-x_{m-1}+x_{m+1}-x_{m-2}+x_{m+2}-\ldots +x_{n+1}-x_n|$
$\leq |x_m-x_{m-1}|+|x_{m+1}-x_{m-2}|+\ldots +|x_{n+1}-x_n|$
$\leq \left(\frac14\right)^{m-1}+\left(\frac14\right)^{m-2}+\ldots + \left(\frac14\right)^n$
$=\left(\frac14\right)^n \left(1+\frac14+\ldots + \left(\frac14\right)^{m-n-1}\right)$
$=\left(\frac14\right)^n\cdot \frac{1-(\frac{1}{4})^{m-n}}{1-\frac{1}{4}}\leq \frac43\cdot\left(\frac14\right)^n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$ elde edilir. Yani $(x_n)$ dizisi bir Cauchy dizisidir ve $\mathbb{R}$'deki her Cauchy dizisi de yakınsak olduğundan (Nedenine buradan ulaşabilirsiniz) dizi yakınsaktır. Dizi yakınsak olduğundan $$\lim x_n=L$$ olacak şekilde en az bir $L\in\mathbb{R}$ vardır. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak olduğundan $$\lim x_{n+1}=L$$ olur. O halde $$L=\lim x_{n+1}=\lim \left(2+\frac{1}{x_n}\right)=\lim 2+\lim \frac1{x_n}=\lim 2+\frac{1}{\lim {x_n}}=2+\frac1L$$
$$\Rightarrow$$
$$L=1\mp\sqrt{2}$$ bulunur. Dizinin bütün terimleri $2$'den büyük eşit olduğundan $$L=1-\sqrt{2}$$ olamaz. O halde $$L=1+\sqrt{2}$$ olmalıdır.