İlk olarak şunu paylaşalım. Her n∈N için xn≥2 olduğunu görmek zor olmasa gerek.
|xn+1−xn|=|2+1xn−2−1xn−1|=|xn−xn−1xn⋅xn−1|=|xn−xn−1||xn|⋅|xn−1|≤12⋅12⋅|xn−xn−1|=14⋅|xn−xn−1|
⇒|xn+1−xn|≤(14)n−1⋅|x2−x1|=(14)n−1⋅(3−2)=(14)n−1 bulunur. Buradan da
|xm−xn|=|xm−xm−1+xm+1−xm−2+xm+2−…+xn+1−xn|
≤|xm−xm−1|+|xm+1−xm−2|+…+|xn+1−xn|
≤(14)m−1+(14)m−2+…+(14)n
=(14)n(1+14+…+(14)m−n−1)
=(14)n⋅1−(14)m−n1−14≤43⋅(14)nn→∞⟶0 elde edilir. Yani (xn)n dizisi bir Cauchy dizisidir ve R'deki her Cauchy dizisi de yakınsak olduğundan (Nedenine buradan ulaşabilirsiniz) dizi yakınsaktır. Dizi yakınsak olduğundan lim olacak şekilde en az bir L\in\mathbb{R} vardır. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak olduğundan \lim x_{n+1}=L olur. O halde L=\lim x_{n+1}=\lim \left(2+\frac{1}{x_n}\right)=\lim 2+\lim \frac1{x_n}=\lim 2+\frac{1}{\lim {x_n}}=2+\frac1L
\Rightarrow
L=1\mp\sqrt{2} bulunur. Dizinin bütün terimleri 2'den büyük eşit olduğundan L=1-\sqrt{2} olamaz. O halde L=1+\sqrt{2} olmalıdır.