Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi
$x_1=2$ ve $x_{n+1}=2+\frac1{x_n}$ olmak üzere $(x_n)_n$ dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz. Yakınsadığı noktayı bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 1.3k kez görüntülendi

Nereye yakınsadığı konusunda bir öngörünüz var mı? Bu dizinin ilk birkaç teriminin nasıl hareket ettiğine baktığınız mı? Bir dizinin yakınsak olduğunu göstermenin nasıl yollarını biliyorsunuz?

Sürekli bir kesir elde ediyoruz. Terimler Fibonocci dizisini andırıyor. 

Monoton yakınsaklık teoremi için çok güzel bir uygulama. Teşekkürler.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

İlk olarak şunu paylaşalım. Her $n\in\mathbb{N}$ için $x_n\geq 2$ olduğunu görmek zor olmasa gerek.

$$\begin{array}{rcl}|x_{n+1}-x_n| & = & \left |2+\frac{1}{x_n}-2-\frac{1}{x_{n-1}}\right | \\ \\ & = & \left |\frac{x_n-x_{n-1}}{x_n \cdot x_{n-1}}\right | \\ \\ & = & \frac{|x_n-x_{n-1}|}{|x_n|\cdot | x_{n-1}|}\leq \frac12\cdot\frac12\cdot\left|x_n-x_{n-1}\right| \\ \\ & = & \frac14\cdot\left|x_n-x_{n-1}\right|\end{array}$$

 

$$\Rightarrow |x_{n+1}-x_n|\leq \left(\frac14\right)^{n-1}\cdot|x_2-x_1|=\left(\frac14\right)^{n-1}\cdot (3-2)=\left(\frac14\right)^{n-1}$$ bulunur. Buradan da 

$|x_m-x_n|=|x_m-x_{m-1}+x_{m+1}-x_{m-2}+x_{m+2}-\ldots +x_{n+1}-x_n|$

$\leq |x_m-x_{m-1}|+|x_{m+1}-x_{m-2}|+\ldots +|x_{n+1}-x_n|$

$\leq \left(\frac14\right)^{m-1}+\left(\frac14\right)^{m-2}+\ldots + \left(\frac14\right)^n$

$=\left(\frac14\right)^n \left(1+\frac14+\ldots + \left(\frac14\right)^{m-n-1}\right)$

$=\left(\frac14\right)^n\cdot \frac{1-(\frac{1}{4})^{m-n}}{1-\frac{1}{4}}\leq \frac43\cdot\left(\frac14\right)^n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$ elde edilir. Yani $(x_n)_n$ dizisi bir Cauchy dizisidir ve $\mathbb{R}$'deki her Cauchy dizisi de yakınsak olduğundan (Nedenine buradan ulaşabilirsiniz) dizi yakınsaktır. Dizi yakınsak olduğundan $$\lim x_n=L$$ olacak şekilde en az bir $L\in\mathbb{R}$ vardır. Yakınsak dizilerin her altdizisi de yakınsak olduğundan $$\lim x_{n+1}=L$$ olur. O halde $$L=\lim x_{n+1}=\lim \left(2+\frac{1}{x_n}\right)=\lim 2+\lim \frac1{x_n}=\lim 2+\frac{1}{\lim {x_n}}=2+\frac1L$$

$$\Rightarrow$$

$$L=1\mp\sqrt{2}$$ bulunur. Dizinin bütün terimleri $2$'den büyük eşit olduğundan $$L=1-\sqrt{2}$$ olamaz. O halde $$L=1+\sqrt{2}$$ olmalıdır.

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

ikinci satir sanki soyle olmali

|x(n+1)-x(n)| ≤ ((1/4)^(n-1)).1/2=2.(1/4)^n 

3 ve 4. satirlarda indisler de yanlis olmus

14)n

Burada şu şekilde de düşünebilir miydik 2<= xn <= 3 diye varsayım yapıp daha sonra da xn+1 in de bu aralıkta olduğunu gösterseydik
Evet. Her $n\in\mathbb{N}$ için $2\leq x_n\leq 3$ olduğu gösterilebilir.
20,194 soru
21,724 cevap
73,248 yorum
1,871,881 kullanıcı