Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
237 kez görüntülendi
$x_1,x_2\in\mathbb{R},$  $x_1<x_2$ ve her $n>2$ için $x_n:=\frac{1}{2}(x_{n-2}+x_{n-1})$ olduğuna göre $(x_n)_n$ dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz. Limitini bulunuz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 237 kez görüntülendi
Kısaca

$|x_n-x_{n-1}|=|x_{n-2}-x_{n}|=|x_{n-2}-\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}|=|\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}|$

$|x_n-x_{n-1}|=\dfrac{1}{2}|x_{n-2}+x_{n-1}|$  olduğundan dizi büzen dizidir; dolayısıyla Cauchy dizisidir desek kabül olur mu Murad Hocam:)
Selam Alper. $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\dfrac{1}{2}\left|x_{n-2}+x_{n-1}\right|$$ değil de $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\dfrac{1}{2}\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|$$ olsaydı büzüşen dizi olurdu. Ama $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\dfrac{1}{2}\left|x_{n-2}+x_{n-1}\right|$$ olması dizinin büzüşen (büzen) dizi olduğunu göstermez. Değil mi?
Şimdi fark ettim Alper. Sanırım bir işlem hatası yapmışsın. $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\left|x_{n-2}-x_{n}\right|=\left|x_{n-2}-\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}\right|=\left|\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}\right|$$ değil de $$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\left|x_{n-2}-x_{n}\right|=\left|x_{n-2}-\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}\right|=\left|\dfrac{x_{n-2}-x_{n-1}}{2}\right|$$ olur. Bu durumda da senin de mesajında ifade ettiğin gibi dizi büzüşen (büzen) bir dizi olur. Her büzüşen dizi, Cauchy dizisi ve her Cauchy dizisi de yakınsak olduğundan söz konusu dizi yakınsaktır.
Peki limitini nasıl buluruz?

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$|x_n-x_{n-1}|=|x_{n-2}-x_{n}|=|x_{n-2}-\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}|=|\dfrac{x_{n-2}-x_{n-1}}{2}|$

$|x_n-x_{n-1}|=\dfrac{1}{2}|x_{n-2}-x_{n-1}|$  olduğundan dizi büzen dizidir ve her büzen dizi Cauchy dizisi olduğundan $(x_n)_n$ dizisi yakınsaktır.

Dizinin öz yineleme(rekurans) bağıntısı  $x_n=\frac{1}{2}(x_{n-2}+x_{n-1})$  sabit katsayılı homejen 2.derece bağıntıdır.

$x_{n-2}=1,x_{n-1}=r, x_{n}=r^2$ alırsak karakteristik denklem  $$2r^2-r-1=0$$  ve $r_1=1, r_2=-1/2$ olacağından $$x_n=(r_1)^nA+(r_2)^nB=A+(-1/2)^nB$$ bulunur. $$x_1=A-B/2$$  $$x_2=A+B/4$$  denklemleri çözülürse  $$A=\dfrac{2x_2+x_1}{3}$$  $$B=\dfrac{4}{3}(x_2-x_1)$$  $$x_n=\dfrac{2x_2+x_1}{3}+\dfrac{4}{3}(x_2-x_1)(-1/2)^n$$ olarak bulunur. Limite geçilirse $$\lim x_n=\dfrac{2x_2+x_1}{3}$$ olmalı.
(2.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
$$|x_n-x_{n-1}|=\dfrac{1}{2}|x_{n-2}+x_{n-1}|$$ değil de $$|x_n-x_{n-1}|=\dfrac{1}{2}|x_{n-2}-x_{n-1}|$$ olacak, değil mi?
Düzelttim Murad Hocam. Teşekkürler.
0 beğenilme 0 beğenilmeme
$$x_n=\frac{1}{2}(x_{n-2}+x_{n-1})$$ eşitliğinin her iki tarafından $x_{n-1}$ çıkartırsak $$x_n-x_{n-1}=-\frac{1}{2}(x_{n-1}-x_{n-2})$$
elde edilir. Öte yandan $$y_i:=x_{i+1}-x_{i}$$ dersek $$y_i=-\frac{1}{2}y_{i-1}$$ olur. Buradan da $$y_i=\frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}}\cdot y_1$$ elde edilir. $$\begin{array}{rcl} y_{n+1}-y_1 & = & \Sigma_{i=1}^{n}(y_{i+1}-y_i) \\ \\ & = & \Sigma_{i=1}^{n} \left(\frac{(-1)^{i}}{2^{i}}\cdot y_1-\frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}}\cdot y_1\right) \\ \\ & = & \Sigma_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}}\cdot y_1\cdot\left(-2-1\right) \\ \\  & = & -3\cdot y_1\cdot \Sigma_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}} \end{array}$$ olduğundan $$y_{n+1}=y_1-3\cdot y_1\cdot \Sigma_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}}$$ yani $$\begin{array}{rcl} y_{n+1} & = & (x_2-x_1)-3\cdot (x_2-x_1)\cdot \Sigma_{i=1}^{n} \frac{(-1)^{i-1}}{2^{i-1}} \\ \\ & = & (x_2-x_1)-3\cdot (x_2-x_1)\cdot \left[\frac23\cdot \left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}\right)\right]\end{array}$$ yani $$y_{n+1}=(x_2-x_1)-2\cdot (x_2-x_1)\cdot \left(1+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}\right)$$ olur. Her iki tarafın limiti alınırsa sonuç $$\lim_{n\to\infty} x_n=(x_2-x_1)-3\cdot (x_2-x_1)=2x_1-2x_2$$ bulunur.
(11.4k puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi
İşlem hataları var. Müsait bir zamanda tekrar ele alacağım.
20,205 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,806 kullanıcı