Question

$0<r<1$ olmak üzere her $n\in\mathbb{N}$ için $|x_{n+1}-x_n|<r^n$ ise $(x_n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$n>m$ için

$$\begin{array}{rcl}|x_n-x_m| & = & |x_n-x_{n-1}+x_{n-1}-x_{n-2}+\ldots +x_{m+1}-x_m| \\ \\ & \leq & |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+\ldots +|x_{m+1}-x_m|\\ \\ & \overset{\text{Hipotez}}\leq  & r^{n-1}+r^{n-2}+\ldots +r^m \\ \\ & = & r^m\cdot(r^{n-m-1}+r^{n-m-2}+\cdots +1) \\ \\ & = & r^m\cdot \frac{1-r^{n-m}}{1-r} \\ \\ & \overset{(0<r<1)(n>m)}< & r^m\cdot \frac{1}{1-r}\end{array}$$ olduğundan her $0<\epsilon\leq \frac{1}{1-r}$ için $K:=\lfloor \log_r(\epsilon-\epsilon\cdot r)\rfloor +1\in\mathbb{N}$ seçilirse her $n,m\geq K$ için $$\begin{array}{rcl}|x_n-x_m| & < & r^m\cdot\frac{1}{1-r} \\ \\ & \leq & r^K\cdot\frac{1}{1-r} \\ \\ & = & r^{\lfloor \log_r(\epsilon-\epsilon\cdot r)\rfloor +1}\cdot\frac{1}{1-r} \\ \\ & < & r^{\log_r(\epsilon-\epsilon\cdot r)}\cdot\frac{1}{1-r} \\ \\ & = & (\epsilon-\epsilon\cdot r)\cdot \frac{1}{1-r} \\ \\ & = & \epsilon\end{array}$$ koşulu sağlanır. $\epsilon\geq 1$ için $K$ sayısının herhangi bir doğal sayı seçilmesinin yeterli olacağını görmek zor olmasa gerek. En azından birkaç gözlem yapan bir okur bunu kolayca anlayabilir. O halde $(x_n)_n$ dizisi bir Cauchy dizisidir.

Comments

Son kısım şöyle de düşünülebilir:

Verilmiş bir $\epsilon$ için  $N$ göstergecini $N\gt \dfrac{1}{\epsilon}$  olacak biçimde seçersek her  $n\gt m\gt N$ için $$|x_n-x_m|\lt \dfrac{r^n}{1-r}\le r^N\le \dfrac{1}{N}\lt \epsilon$$ olacağından  $(x_n)_n$ bir Cauchy dizisidir.