Yakinsamayan bir dizi

Question

Ustten ve (alttan ) [ sagol Ozgur!! ] sinirli, limiti olmayan ama $\lim \limits_{n\to\infty}|a_{n-1}-a_n|=0$ i saglayan bir $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ var midir ?

Comments

Bir örnek vereceğim ama örneğin amacı soruyu değiştirmek :)

Eğer üstten sınırlı koşulunu koymasaydın

$$s_n = 1+ 1/2+\ldots +1/n$$

dizisini örnek verebilirdik. Dolayısıyla, $a_n = -s_n$  dizisini senin sorduğun soruya karşı örnek verebiliriz. Dolayısıyla, soruya üstten sınırlı ekliyorsak, alltan sınırlı eklemeyi de eklemek mantıklı :)

---

degistirdim soruyu sagol :)

---

Güzel bir soru.

Böyle bir (sürü) dizi var. Harmonik seriyi anlamak (veya Riemann ın koşullu yakınsak serileri ile ilgili bir teoremini bilmek) bulmaya yardım ediyor.

Cauchy kriterinini daha iyi anlamaya yardım ediyor.

Bir ara yazacağım.

---

Doğan Hoca'nın verdiği tiyoyu anladım: harmonik serideki terimlerin bazılarının işaretini öyle bir değiştirebiliriz ki sonlu toplamlar 0 ile 1 arasında gider gelir.

Mesela 1 ile başladık, şimdi sıfırın altına inene kadar eksi ile devam et

1-1/2

1-1/2-1/3

1-1/2-1/3-1/4

Sıfırın altına indik tekrar artıya dön

1-1/2-1/3-1/4+1/5

Biri geçene kadar böyle devam et, sonra tekrar eksiye dön.

---

Evet Ozgur, tam da onu düşünmüştüm.

Answer 1

Yorumda bahsettiğim örnekden daha basit bir örnek buldum. Kısa olduğu için onu yazayım.

Aşağıdaki dizinin nasıl devam ettiğini tahmin etmek zor değil. Bir formülü de yazılabilir.

$0,\frac12,1,\frac23,\frac13,0,\frac14,\frac24,\frac34,1,\frac45,\frac35,\frac25,\frac15,0,\frac16,\frac26,\frac36,\frac46,\frac56,1,\ldots$

Sınırlı olduğu aşikar, $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n-a_{n-1}|=0$ olduğu ve yakınsak olmadığı zor değil.

EK: $(\cos(\pi\sqrt n))$ ve $\left(\sin\left(\frac\pi2\sqrt n\right)\right)$ dizileri de böyle.

Comments

Biraz ((Şu sorudaki gibi, çok basit olmayan) $\sup,\ \inf$ hesabı ile, $(\sin\sqrt n)$ ve $(\cos\sqrt n)$ dizileri de böyle.