G-modülleri

Question

Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumumu okuyunuz.

Önce tanım: Bir $G$ sonlu grubu üzerine tanımlı $G$-modül demek $G$'nin etki ettiği abelyen bir grup demek. Yani $A$ bir $G$-modüldür demek, $A$ abelyen bir grup ve $G$'nin $A$ üzerinde, her $a,b\in A$ ve her $\sigma,\tau\in G$ için

$1a=a$; $\sigma(a+b)=\sigma a+\sigma b$; $(\sigma\tau)a=\sigma(\tau a)$

eşitliklerini sağlayan bir çarpması var demek.

$\mathbb{Z}[G]$ halkası, $G$'nin $\mathbb{Z}$ üzerine grup halkası olarak adlandırılır ve elemanları$$\sum_{\sigma\in G}n_{\sigma}\sigma;\qquad(n_{\sigma}\in\mathbb{Z})$$biçimindeki formal toplamlardır. Kolaylıkla görülebilir ki bu tip toplamların çarpımı grup çarpımı aracılığıyla tanımlanabilir.

1. Bir $G$-modül örneği verin.
2. $\mathbb{Z}[G]$ grup halkasının serbest abelyen bir grup olduğunu gösterin.
   
3. $\mathbb{Z}[G]$'nin bir halka olduğunu gösterin ve bu halkanın $G$ değişmeli olmadıkça değişmeli olmadığını ispatlayın.
   
4. Eğer $A$ bir $G$-modül ise, $A$'nın doğal olarak $\mathbb{Z}[G]$ halkası üzerine bir bilindik anlamda bir modül olduğunu gösterin.

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali

Comments

$\sum_{\sigma \in G} n_{\sigma}\sigma$ formal toplami, sonsuz bir toplam olabilir mi? Sonucta formal.

---

$G$'nin sonlu olduğunu ekledim. Böylece toplamın kapsamı belirlenmiş oldu. Sağolasın.

Bu soru, soru çözerek grup kohomolojisine basit bir giriş yapmak için hazırlanan bir dizi sorunun ilki. Bu sorularda geçen kavramlar en genel hallerinden ziyade, amaç için gereken en sade şekilleriyle verilmektedir. Sorular, Neukirch'in sınıf cisim kuramı üzerine verdiği Bonn dersleri başlıklı kitabı izlek alınarak hazırlanmktadır. Bu soruların pek çoğunun yanıtı adı geçen kitapta bulunmakta.

Birinci soru: http://matkafasi.com/10695/g-modulleri 

İkinci soru: http://matkafasi.com/10699/artis-ideali-ve-norm-ideali 

Üçüncü soru: http://matkafasi.com/10786/artis-ideallerinin-augmentation-serbest-carpan-oluslari 

Dördüncü soru: http://matkafasi.com/10788/norm-ve-artis-idealleri-birbirlerinin-sifirlayicilaridir 

Beşinci soru: http://matkafasi.com/10791/bir-g-modulun-onemli-altmodulleri 

Altıncı soru: http://matkafasi.com/10795/g-modul-morfizmalari 

Yedinci soru: http://matkafasi.com/11236/tensor-carpim-uzerindeki-%24g%24-modul-yapisi

Sekizinci soru: http://matkafasi.com/11240/tensor-carpim-ve-%24hom%24-islemleri-toplamsaldir

Dokuzuncu soru: http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme

Onuncu soru: http://matkafasi.com/11250/%24hom%24-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-durum

On birinci soru: http://matkafasi.com/11267/hom-isleminin-duz-flat-oldugu-bir-baska-durum.

On ikinci soru: http://matkafasi.com/11274/tensorlemenin-duz-flat-davrandigi-bir-durum

On üçüncü soru: http://matkafasi.com/11277/tensorlemenin-net-oldugu-bir-baska-durum

---

Grup sonsuz da olsa grup halkası tanımlanabilir. Grup halkası toplamsal olarak, bazı G'nin elemanları ile verilen bir serbest grup olarak tanımlanıyor. Yani elemanları $\sum _{g\in G} n_g g $ şeklinde yazıldığında $n_g $ sadece sonlu sayıda $g$ için sıfırdan farklı oluyor. Bu özellik halka çarpmasının sonlu toplam ile verilebilmesi için gerekli.

---

Evet, sonlu olmayan gruplar icin de aynen boyle tanimlanabilir. Bu seride sonlu gruplarin kohomolojilerine girisi amacladigim icin minimum genellikte veriyorum tanimlari.

Answer 1

1. $K=\{(1), (12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ grubu bir $S_{4}-$modüldür.

2. $G$ grubu $\Bbb{Z}[G]$ için bir bazdır. (Ürettiği ve lineer bağımsızlığı görülebilir). Dolayısıyla $(\Bbb{Z}[G],+)$ grubu abelyan free gruptur.

3. $\displaystyle\big (\sum_{\sigma \in G} n_{\sigma}{\sigma}\big)+\displaystyle\big (\sum_{\sigma \in G} t_{\sigma}{\sigma}\big)=\displaystyle\sum_{\sigma \in G} (n_{\sigma}+t_{\sigma}){\sigma}$  (Burada gözükmeyen adamların katsayısını $0$ alıyoruz). $\displaystyle\sum_{\sigma \in G} 0 {\sigma}$ grubun birim elemanıdır. Ayrıca $\displaystyle\sum_{\sigma \in G} n_{\sigma}{\sigma}$ nın tersi $\displaystyle\sum_{\sigma \in G} (-n_{\sigma}){\sigma}$ şeklindedir. Çarpma işleminin sağladığı özellikler de kolayca görülebilir. Üstelik $\Bbb{Z}[G]$ halkası birimli ve birimi $1 e$ şeklindedir. ($e$ $G$ nin birimi olmak üzere). Yani $\Bbb{Z}[G]$ bir halkadır. Eğer $G$ değişmeli değilse örneğin; $\Bbb{Z}[S_3]$ te $(2 (23))(1 (123))\neq (1(123))(2(23))$) olup $\Bbb{Z}[G]$ değişmeli olmaz. Eğer $G$ değişmeli ise $\displaystyle\big (\sum_{\sigma \in G} n_{\sigma}{\sigma}\big)\displaystyle\big (\sum_{\alpha \in G} t_{\alpha}{\alpha}\big)=\displaystyle \sum_{\sigma, \alpha \in G} (n_{\sigma}t_{\alpha}){\sigma\alpha}=\displaystyle \sum_{\sigma, \alpha \in G}(t_{\alpha}n_{\sigma}){\alpha\sigma}$ elde edilir. Yani $\Bbb{Z}[G]$ değişmeli olur.

4. $\odot: \Bbb{Z}[G]\times A\rightarrow A$ $\displaystyle\big (\sum_{\sigma \in G} n_{\sigma}{\sigma}, a\big)\rightarrow \displaystyle \sum_{\sigma \in G} n_{\sigma}({\sigma a})$ ile tanımlandığında $A$ nın bir $\Bbb{Z}[G]-$modül olduğu görülebilir.

Comments

Ucuncu soruda carpmayi nasil tanimliyorsunuz?

Answer 2

1. $G$ bir abelyen grup olsun. $G$'nin kendi uzerine $\sigma \cdot a : = \sigma + a - \sigma $ etkisi, $A = G$'yi bir $G$-modul yapar. 

• $0 \cdot a = 0 + a - 0 = a$;
• $\sigma \cdot (a + b) = \sigma + a + b -\sigma = \sigma + a - \sigma + \sigma + b - \sigma = \sigma \cdot a + \sigma \cdot b$
• $(\sigma + \tau) \cdot a = (\sigma + \tau) + a (- \tau - \sigma) = \sigma + (\tau + a - \tau ) + \sigma =  \sigma \cdot (\tau \cdot a)$

2. Oncelikle, $\mathbb{Z}[G]$ uzerindeki toplama islemi $$ \left( \sum_{\sigma} n_{\sigma} \sigma \right) + \left( \sum_{\sigma} m_{\sigma} \sigma\right) = \sum_{\sigma} (n_{\sigma} + m_{\sigma} )\sigma$$ Bu islemin bir grup yapisi verdigi acik. Gecislilik (associativity?), $\mathbb{Z}$'deki gecislilikten geliyor. Sifir elemani, butun katsayilarin sifir oldugu eleman. $-(\sum_{\sigma} n_{\sigma} \sigma)$ da $\sum_{\sigma} (-n_{\sigma}) \sigma$. Ayrica bu bir abelyen grup, bu da $\mathbb{Z}$'nin abelyen olmasindan dolayi.

Simdi, $G$'nin $k$ elemanli oldugunu dusunelim ($G = \{ g_1 , \ldots, g_k \}$).

$$ f: \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}^k \\ n_1 g_1 + \ldots + n_k g_k \mapsto (n_1, \ldots, n_k )$$seklinde tanimlanan fonksiyon acik bir sekilde grup homomorfizmasidir. Ortenligi ve birebirligi de bariz.

3. $\mathbb{Z}[G]$ uzerindeki carpma islemini dogal olarak $$\left( \sum_{\sigma} n_{\sigma} \sigma \right) \left( \sum_{\sigma} m_{\sigma} \sigma\right) = \sum_{\rho\tau = \sigma} (\sum{n_{\rho} m_{\tau}}) \sigma \quad ^*$$ olarak tanimladigimizda halka ozelliklerinin saglandigini goruyoruz. Ayrica $G$'nin $\mathbb{Z}[G]$'nin bir altkumesi oldugunu ve grup halkasindaki carpmanin $G$'ye kisitlanisinin gruptaki islem oldugunu gozlemlemek zor degil. O yuzden, $G$ abelyen degilse, grup halkasi da degismeli olamaz. Eger $G$ abelyense, o zaman yukaridaki islemde her seyin rahatlikla yer degistirecegini de gorebiliriz.

4. $\mathbb{Z}[G]$'nin $A$ uzerine etkisini soyle tanimlayalim:

$$\sum_{\sigma} n_\sigma \sigma \cdot a = \sum_\sigma n_\sigma(\sigma a)$$ Simdi,

$r = \sum_\sigma n_\sigma \sigma$ ve $s = \sum_\sigma m_\sigma \sigma$ olsun. $A$'nin bir $G$-modul oldugunu kullanarak,

• $r  (a + b) = \sum_\sigma n_\sigma (\sigma(a+b)) = \sum_\sigma n_\sigma (\sigma a + \sigma b) = \sum_\sigma n_\sigma (\sigma a) + n_\sigma (\sigma b) = ra + rb$
• $(r + s)a = \sum _\sigma (n_\sigma + m\sigma) \sigma a = \sum_\sigma (n_\sigma + m_\sigma)(\sigma a) = \sum_\sigma n_\sigma \sigma a + m_\sigma \sigma a = r a + s a$
• $(rs)a = \sum_{\rho \tau = \sigma}(\sum n_\rho m_\tau)\sigma a = \sum_{\rho \tau = \sigma} (\sum n_\rho m_\tau)(\sigma a) = r(\sigma a)$
• $1 a = 1 1_G a = 1_G a = a$

Demek ki, $A \in G- mod$ ise $A \in \mathbb{Z}[G] - mod$.

$^*$ Bu islemin neden dogal oldugunu iki polinom alip birbiriyle carparak gorebiliriz. Katsayilarin nasil geldigi onemli. Yoksa $\mathbb{Z}[G]$'nin serbest halkadan farki kalmaz ki bunu hicbirimiz istemeyiz sanirim.