Question

$x,y,z\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$x<y\wedge y<z\Rightarrow x<z$$ olduğunu gösteriniz.

Bu linkteki aksiyomlara sadık kalarak bir kanıt veriniz.

Not: $x<y:\Leftrightarrow (x\leq y)(x\neq y)$

Answer 1

$x<y$  ve  $y<z$ olsun ve $x=z$ olduğunu varsayalım.

$$x<z :\Leftrightarrow (x\neq z)(x\leq z )$$ olduğundan $$x<z$$ olduğunu göstermek için $$(x\neq z)(x\leq z)$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$\left.\begin{array}{rr} x<y \Rightarrow (x\leq y)(x\neq y)\Rightarrow x\leq y \\ \\ y<z \Rightarrow (y\leq z)(y\neq z)\Rightarrow y\leq z \end{array}\right\} \overset{ÇS}\Rightarrow x\leq z \ ...(*) $

olur. Diğer taraftan  

$\left.\begin{array}{rr} (x<y)(y<z) \Rightarrow y<z \\ \\ x=z \end{array}\right\} \Rightarrow y<x \Rightarrow (y\leq x)(y\neq x)\Rightarrow y\leq x \ldots (1)$

eşitsizliğini elde ederiz. Buradan da

$\left.\begin{array}{rr} (x<y)(y<z) \Rightarrow x<y \Rightarrow (x\leq y)(x\neq y)\Rightarrow x\leq y \\  \\ (1) \end{array}\right\} \overset{S_2}\Rightarrow x=y \ldots (2)$

olur. Yani

$\left.\begin{array}{rr} (x<y)(y<z) \Rightarrow x<y \Rightarrow (x\neq y)(x\leq y) \Rightarrow x\neq y \\ \\ (2)  \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.}$

O halde varsayımımız yanlıştır. Yani $$x\neq z \ldots (**)$$

Böylece

$(*),(**)\Rightarrow (x\neq z)(x\leq z) \Rightarrow x<z.$