x<y ve y<z olsun ve x=z olduğunu varsayalım.
x<z:⇔(x≠z)(x≤z) olduğundan x<z olduğunu göstermek için (x≠z)(x≤z) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
x<y⇒(x≤y)(x≠y)⇒x≤yy<z⇒(y≤z)(y≠z)⇒y≤z}ÇS⇒x≤z ...(∗)
olur. Diğer taraftan
(x<y)(y<z)⇒y<zx=z}⇒y<x⇒(y≤x)(y≠x)⇒y≤x…(1)
eşitsizliğini elde ederiz. Buradan da
(x<y)(y<z)⇒x<y⇒(x≤y)(x≠y)⇒x≤y(1)}S2⇒x=y…(2)
olur. Yani
(x<y)(y<z)⇒x<y⇒(x≠y)(x≤y)⇒x≠y(2)}⇒Çelişki.
O halde varsayımımız yanlıştır. Yani x≠z…(∗∗)
Böylece
(∗),(∗∗)⇒(x≠z)(x≤z)⇒x<z.