x<y ve y<z olsun ve x=z olduğunu varsayalım.
x<z:⇔(x≠z)(x≤z) olduğundan x<z olduğunu göstermek için (x≠z)(x≤z) önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
\left.\begin{array}{rr} x<y \Rightarrow (x\leq y)(x\neq y)\Rightarrow x\leq y \\ \\ y<z \Rightarrow (y\leq z)(y\neq z)\Rightarrow y\leq z \end{array}\right\} \overset{ÇS}\Rightarrow x\leq z \ ...(*)
olur. Diğer taraftan
\left.\begin{array}{rr} (x<y)(y<z) \Rightarrow y<z \\ \\ x=z \end{array}\right\} \Rightarrow y<x \Rightarrow (y\leq x)(y\neq x)\Rightarrow y\leq x \ldots (1)
eşitsizliğini elde ederiz. Buradan da
\left.\begin{array}{rr} (x<y)(y<z) \Rightarrow x<y \Rightarrow (x\leq y)(x\neq y)\Rightarrow x\leq y \\ \\ (1) \end{array}\right\} \overset{S_2}\Rightarrow x=y \ldots (2)
olur. Yani
\left.\begin{array}{rr} (x<y)(y<z) \Rightarrow x<y \Rightarrow (x\neq y)(x\leq y) \Rightarrow x\neq y \\ \\ (2) \end{array}\right\} \Rightarrow \text{Çelişki.}
O halde varsayımımız yanlıştır. Yani x\neq z \ldots (**)
Böylece
(*),(**)\Rightarrow (x\neq z)(x\leq z) \Rightarrow x<z.