x<y ve 0<z olsun. Amacımız xz<yz
olduğunu göstermek. Bunun için
‘‘<" bağıntısının tanımı gereği
xz≤yz
ve
xz≠yz
olduğunu göstermeliyiz.
x<y⇒(x≤y)(x≠y)⇒x≤y0<z⇒(0≤z)(0≠z)⇒0≤z}⇒xz≤yz…(1)
Şimdi
xz≠xy
olduğunu göstermek için
xz≠xy
önermesinin doğru olmadığını yani
xz=yz
olduğunu varsayalım.
xz=yz0<z⇒(0≤z)(0≠z)⇒0≠z⇒(∃t∈R∖{0})(zt=tz=1)}⇒(xz,t)=(yz,t)
⇒⋅(xz,t)=⋅(yz,t)⇒(xz)t=(yz)t⇒x(zt)=y(zt)⇒x1=y1⇒x=yx<y⇒(x≤y)(x≠y)⇒x≠y}⇒Çelişki
O halde varsayımımız yanlış yani xz≤yz…(2)
(1),(2)⇒(xz≤yz)(xz≠yz)⇒xz<yz.