$\sup A=1$ olduğunu gösteriniz

Question

(http://matkafasi.com/120705/sin2n-dizisinin-en-buyuk-alt-siniri nin biraz daha basit şekli)

$A=\{\sin n:n\in\mathbb{Z}\},\quad B=\{\cos n:n\in\mathbb{Z}\}$ olsun.

(derece değil, radyan kullanıyoruz)

$\sup A=\sup B=1$ olduğunu gösteriniz.  (ikincisi çok kolay!)

(İpucu: http://matkafasi.com/120724/%24-mathbb-r-%24-grubunun-alt-gruplari) dan yararlanın)

Birinciyi kullanarak, kolayca, $\inf A=-1$ olduğu sonucu çıkar. 

Benzer mantıkla $\inf B=-1$ olduğu gösterilebilir.

Answer 1

1 sayısı, $A$ için bir üst sınırdır. 

$\forall \varepsilon>0$ için $|\sin n-1|<\varepsilon$ olacak şekilde bir $n\in\mathbb{Z}$ nin var olduğunu göstermek yeterlidir.

$G,\ (\mathbb{R},+)$ nin $1$ ve $2\pi$ tarafından üretilen alt grubu olsun.

http://matkafasi.com/120724/%24-mathbb-r-%24-grubunun-alt-gruplari

probleminden,  (çünki devirli değil, neden?) $G,\ \mathbb{R}$ de yoğundur.

$G=\{n+2m\pi:n,m\in\mathbb{Z}\}$ dir.

Şu basit eşitsizliğe ihtiyacımız var: $\forall x,y\in\mathbb{R}$ için $|\sin x-\sin y|\leq|x-y|$ dir.

(bu eşitsizlik Ortalama Değer Teoremi veya trigonometrik özdeşlikler kullanarak gösterilebilir)

Bir $\varepsilon>0$ verilsin.

$G,\ \mathbb{R}$ de yoğun olduğu için, $|\frac\pi2-(n+2m\pi)|<\varepsilon$ olacak şekilde $n,m\in\mathbb{Z}$ vardır. Yukarıdaki eşitsizlikten,

$|1-\sin n|=|\sin\frac\pi2-\sin(n+2m\pi)|\leq|\frac\pi2-(n+2m\pi)|<\varepsilon$

olur.