Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
344 kez görüntülendi
$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ olmak üzere $$A, \text{ sınırlı}\Rightarrow A\subseteq [\inf A,\sup A]$$ olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 344 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ sınırlı ve $x\in A$ olsun. (Amacımız $x\in [\inf A,\sup A]$ olduğunu göstermek.)

$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ ve sınırlı (yani hem alttan hem de üstten sınırlı) olduğundan bu linkteki sup aksiyomu gereği $A$ kümesinin supremumu ve şu linkteki  teorem gereği de $A$ kümesinin infimumu vardır.

$$\left.\begin{array}{rr} x\in A\Rightarrow \inf A\leq x\\ \\ x\in A\Rightarrow x\leq \sup A\end{array}\right\}\Rightarrow  \inf A\leq x\leq \sup A\Rightarrow x\in [\inf A,\sup A]$$  elde edilir ki bu da istediğimiz sonuçtur.

(11.4k puan) tarafından 
20,204 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,887 kullanıcı