Processing math: 4%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
580 kez görüntülendi
\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R} olmak üzere A, \text{ sınırlı}\Rightarrow A\subseteq [\inf A,\sup A] olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 580 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R} sınırlı ve x\in A olsun. (Amacımız x\in [\inf A,\sup A] olduğunu göstermek.)

\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R} ve sınırlı (yani hem alttan hem de üstten sınırlı) olduğundan bu linkteki sup aksiyomu gereği A kümesinin supremumu ve şu linkteki  teorem gereği de A kümesinin infimumu vardır.

\left.\begin{array}{rr} x\in A\Rightarrow \inf A\leq x\\ \\ x\in A\Rightarrow x\leq \sup A\end{array}\right\}\Rightarrow  \inf A\leq x\leq \sup A\Rightarrow x\in [\inf A,\sup A]  elde edilir ki bu da istediğimiz sonuçtur.

(11.6k puan) tarafından 
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,100,766 kullanıcı