$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ sınırlı ve $x\in A$ olsun. (Amacımız $x\in [\inf A,\sup A]$ olduğunu göstermek.)
$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$ ve sınırlı (yani hem alttan hem de üstten sınırlı) olduğundan bu linkteki sup aksiyomu gereği $A$ kümesinin supremumu ve şu linkteki teorem gereği de $A$ kümesinin infimumu vardır.
$$\left.\begin{array}{rr} x\in A\Rightarrow \inf A\leq x\\ \\ x\in A\Rightarrow x\leq \sup A\end{array}\right\}\Rightarrow \inf A\leq x\leq \sup A\Rightarrow x\in [\inf A,\sup A]$$ elde edilir ki bu da istediğimiz sonuçtur.