Yorumdaki gibi
G,\ (\mathbb{R},+) nin
G\neq\{0\} olacak şekilde bir alt grubu olsun (
\{x\in G:x>0\}\neq\emptyset olur) .
s=\inf\{x\in G:x>0\} olsun.
1. s=0 durumu. (G nin \mathbb{R} de yoğun olduğunu gösterelim)
a\in\mathbb{R},\ \varepsilon>0 verilsin. 0<x_1<\varepsilon olacak şekilde bir x_1\in G vardır. (Arşimet özelliğini de kullanarak) nx_1\leq a<(n+1)x_1 olacak şekilde bir n\in\mathbb{Z} vardır. nx_1\in G dir ve |a-nx_1|<x_1<\varepsilon olur.
2. s>0 ve s\in G durumu:
<s>=\{ns:n\in\mathbb{Z}\}\subseteq G olur. Bir a\in G\setminus<s> var olduğunu varsayalım. Birinci durumdakine benzer şekilde, ns<a<(n+1)s olacak şekilde bir n\in\mathbb{Z} vardır. 0<a-ns<s ve a-ns\in G olur. Çelişki. Öyleyse, bu durumda, G=<s> olur.
3. s>0 ve s\notin G varsayalım.
s<x_1<2s olacak şekilde bir x_1\in G vardır. x_1>\inf\{x\in G:x>0\} olduğundan, s\leq x_2<x_1 (aslında s<x_2<x_1) olacak şekilde bir x_2\in G vardır. 0<x_1-x_2<s ve x_1-x_2\in G olduğundan bir çelişki elde edilir. Bu durum imkansızdır.