Processing math: 12%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
817 kez görüntülendi

(R,+) grubunun her alt grubunun ya ({0} durumu hariç, sonsuz) devirli ya da (R de) yoğun olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 817 kez görüntülendi

G alt grup olsun. G{0} ise A={xG:x>0} olur.

s=inf olsun.

1. s=0 ise G nin yoğun olduğu

2. s>0 ve s\in G ise G=<s> (devirli) olduğu

3. Diğer durumun (s>0 ve s\notin G durumu) mümkün olmadığı 

gösterilebilir.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Yorumdaki gibi G,\ (\mathbb{R},+) nin G\neq\{0\} olacak şekilde bir alt grubu olsun (\{x\in G:x>0\}\neq\emptyset olur) .
s=\inf\{x\in G:x>0\} olsun.
1. s=0 durumu. (G nin \mathbb{R} de yoğun olduğunu gösterelim)
a\in\mathbb{R},\ \varepsilon>0 verilsin. 0<x_1<\varepsilon olacak şekilde bir x_1\in G vardır. (Arşimet özelliğini de kullanarak) nx_1\leq a<(n+1)x_1 olacak şekilde bir n\in\mathbb{Z} vardır. nx_1\in G dir ve |a-nx_1|<x_1<\varepsilon olur.

2. s>0 ve s\in G durumu:
<s>=\{ns:n\in\mathbb{Z}\}\subseteq G olur. Bir a\in G\setminus<s> var olduğunu varsayalım. Birinci durumdakine benzer şekilde, ns<a<(n+1)s olacak şekilde bir n\in\mathbb{Z} vardır. 0<a-ns<s ve a-ns\in G olur. Çelişki. Öyleyse, bu durumda, G=<s> olur.

3. s>0 ve s\notin G varsayalım.
s<x_1<2s olacak şekilde bir x_1\in G vardır. x_1>\inf\{x\in G:x>0\} olduğundan, s\leq x_2<x_1 (aslında s<x_2<x_1) olacak şekilde bir x_2\in G vardır. 0<x_1-x_2<s ve x_1-x_2\in G olduğundan bir çelişki elde edilir. Bu durum imkansızdır.


(6.2k puan) tarafından 

Bu sorudaki iddia, çok daha genel bir teoremin özel durumudur:

Teorem. Bir Lie grubunun her kapalı alt grubu da bir Lie grubudur.

20,305 soru
21,856 cevap
73,576 yorum
2,804,711 kullanıcı