$(\mathbb{R},+)$ grubunun alt grupları

Question

$(\mathbb{R},+)$ grubunun her alt grubunun ya ($\{0\}$ durumu hariç, sonsuz) devirli ya da ($\mathbb{R}$ de) yoğun olduğunu gösteriniz.

Comments

$G$ alt grup olsun. $G\neq\{0\}$ ise $A=\{x\in G:x>0\}\neq\emptyset$ olur.

$s=\inf A$ olsun.

1. $s=0$ ise $G$ nin yoğun olduğu

2. $s>0$ ve $s\in G$ ise $G=<s>$ (devirli) olduğu

3. Diğer durumun ($s>0$ ve $s\notin G$ durumu) mümkün olmadığı 

gösterilebilir.

Answer 1

Yorumdaki gibi $G,\ (\mathbb{R},+)$ nin $G\neq\{0\}$ olacak şekilde bir alt grubu olsun ($\{x\in G:x>0\}\neq\emptyset$ olur) .

$s=\inf\{x\in G:x>0\}$ olsun.

1. $s=0$ durumu. ($G$ nin $\mathbb{R}$ de yoğun olduğunu gösterelim)

$a\in\mathbb{R},\ \varepsilon>0$ verilsin. $0<x_1<\varepsilon$ olacak şekilde bir $x_1\in G$ vardır. (Arşimet özelliğini de kullanarak) $nx_1\leq a<(n+1)x_1$ olacak şekilde bir $n\in\mathbb{Z}$ vardır. $nx_1\in G$ dir ve $|a-nx_1|<x_1<\varepsilon$ olur.

2. $s>0$ ve $s\in G$ durumu:

$<s>=\{ns:n\in\mathbb{Z}\}\subseteq G$ olur. Bir $a\in G\setminus<s>$ var olduğunu varsayalım. Birinci durumdakine benzer şekilde, $ns<a<(n+1)s$ olacak şekilde bir $n\in\mathbb{Z}$ vardır. $0<a-ns<s$ ve $a-ns\in G$ olur. Çelişki. Öyleyse, bu durumda, $G=<s>$ olur.

3. $s>0$ ve $s\notin G$ varsayalım.

$s<x_1<2s$ olacak şekilde bir $x_1\in G$ vardır. $x_1>\inf\{x\in G:x>0\}$ olduğundan, $s\leq x_2<x_1$ (aslında $s<x_2<x_1$) olacak şekilde bir $x_2\in G$ vardır. $0<x_1-x_2<s$ ve $x_1-x_2\in G$ olduğundan bir çelişki elde edilir. Bu durum imkansızdır.

Comments

Bu sorudaki iddia, çok daha genel bir teoremin özel durumudur:

Teorem. Bir Lie grubunun her kapalı alt grubu da bir Lie grubudur.