Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
787 kez görüntülendi

(R,+) grubunun her alt grubunun ya ({0} durumu hariç, sonsuz) devirli ya da (R de) yoğun olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 787 kez görüntülendi

G alt grup olsun. G{0} ise A={xG:x>0} olur.

s=infA olsun.

1. s=0 ise G nin yoğun olduğu

2. s>0 ve sG ise G=<s> (devirli) olduğu

3. Diğer durumun (s>0 ve sG durumu) mümkün olmadığı 

gösterilebilir.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Yorumdaki gibi G, (R,+) nin G{0} olacak şekilde bir alt grubu olsun ({xG:x>0} olur) .
s=inf{xG:x>0} olsun.
1. s=0 durumu. (G nin R de yoğun olduğunu gösterelim)
aR, ε>0 verilsin. 0<x1<ε olacak şekilde bir x1G vardır. (Arşimet özelliğini de kullanarak) nx1a<(n+1)x1 olacak şekilde bir nZ vardır. nx1G dir ve |anx1|<x1<ε olur.

2. s>0 ve sG durumu:
<s>={ns:nZ}G olur. Bir aG<s> var olduğunu varsayalım. Birinci durumdakine benzer şekilde, ns<a<(n+1)s olacak şekilde bir nZ vardır. 0<ans<s ve ansG olur. Çelişki. Öyleyse, bu durumda, G=<s> olur.

3. s>0 ve sG varsayalım.
s<x1<2s olacak şekilde bir x1G vardır. x1>inf{xG:x>0} olduğundan, sx2<x1 (aslında s<x2<x1) olacak şekilde bir x2G vardır. 0<x1x2<s ve x1x2G olduğundan bir çelişki elde edilir. Bu durum imkansızdır.


(6.2k puan) tarafından 

Bu sorudaki iddia, çok daha genel bir teoremin özel durumudur:

Teorem. Bir Lie grubunun her kapalı alt grubu da bir Lie grubudur.

20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,952 kullanıcı