Yorumdaki gibi
G, (R,+) nin
G≠{0} olacak şekilde bir alt grubu olsun (
{x∈G:x>0}≠∅ olur) .
s=inf{x∈G:x>0} olsun.
1. s=0 durumu. (G nin R de yoğun olduğunu gösterelim)
a∈R, ε>0 verilsin. 0<x1<ε olacak şekilde bir x1∈G vardır. (Arşimet özelliğini de kullanarak) nx1≤a<(n+1)x1 olacak şekilde bir n∈Z vardır. nx1∈G dir ve |a−nx1|<x1<ε olur.
2. s>0 ve s∈G durumu:
<s>={ns:n∈Z}⊆G olur. Bir a∈G∖<s> var olduğunu varsayalım. Birinci durumdakine benzer şekilde, ns<a<(n+1)s olacak şekilde bir n∈Z vardır. 0<a−ns<s ve a−ns∈G olur. Çelişki. Öyleyse, bu durumda, G=<s> olur.
3. s>0 ve s∉G varsayalım.
s<x1<2s olacak şekilde bir x1∈G vardır. x1>inf{x∈G:x>0} olduğundan, s≤x2<x1 (aslında s<x2<x1) olacak şekilde bir x2∈G vardır. 0<x1−x2<s ve x1−x2∈G olduğundan bir çelişki elde edilir. Bu durum imkansızdır.