Processing math: 8%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
711 kez görüntülendi

Sorunun Türkçesi şu: 

Yani bir topolojik uzayda kompakt ve kapalı kümelerden oluşan bir ailenin her altailesinin kesişimi yine kompakt ve kapalı olmak zorunda mıdır? Yani ilgili soruda koyulan \emptyset\neq\mathcal{B} koşulu illa olmak zorunda mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (11.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 711 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Hayır. Bir topolojik uzayda kompakt ve kapalı kümelerden oluşan bir ailenin her altailesinin kesişimi yine kompakt ve kapalı olmak zorunda değildir. Örneğin (\mathbb{R},\mathcal{U}) alışılmış topolojik uzayını ele alalım. Bu durumda 

\mathcal{A}:=\{A|(A, \ \mathcal{U}\text{-kompakt})(A, \ \mathcal{U}\text{-kapalı})\}=\{A|A, \  \mathcal{U}\text{-kapalı ve sınırlı} \} olur.

\emptyset\subseteq \mathcal{A} fakat boş ailenin kesişimi \bigcap\emptyset=\mathbb{R} olup \mathbb{R}, \ \mathcal{U}-kompakt değildir. Dolayısıyla ilgili sorudaki \emptyset\neq \mathcal{B} koşulu olmak zorundadır. Sonuç olarak sorudaki önerme yanlıştır.

(11.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,334 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,126,107 kullanıcı