Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$``((X,\tau),T_1 \text{ uzayı})(A,\tau \text{-kompakt}) \Rightarrow A\in\mathcal{C}(X,\tau)" \\ \text{önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.}$

 

$\text{Not}:  \ \mathcal{C}(X,\tau):=\{A\big{|} X\setminus A\in\tau\}$

Answer 1

$X=\mathbb{R}$ ve $\tau={\{A \big{|} |X\setminus A|<\aleph_0}\}\cup\{\emptyset\}$ olmak üzere $(\mathbb{R},\tau)$ topolojik uzayı $T_1$ uzayıdır.

$(\mathbb{R},\tau),  \ T_1$ uzayı ve $A=\mathbb{Z}, \ \tau \text{-}$ kompakt olmasına karşın $|\mathbb{Z}|<\aleph_0$ olmadığından dolayı $\mathbb{Z}\notin\mathcal{C}(\mathbb{R},\tau)$ olur.

O halde önerme yanlıştır.