$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{A}:=\{A|A, \ \tau\text{-kompakt}\}$ olmak üzere $$``(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A})(0< |\mathcal{B}|<\aleph_0)\Rightarrow \cap\mathcal{B}\in\mathcal{A}"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Question

Yani bir topolojik uzayda sonlu sayıda (sıfır sayıda hariç) kompakt kümelenin kesişimi kompakt olmak zorunda mıdır?

Answer 1

Yanıt hayır. Sonlu sayıda kompakt kümenin arakesiti kompakt olmak zorunda değildir.

$\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi, $$X=\mathbb{N}\cup \{\pi,e\}$$ ve $$\tau=2^{\mathbb{N}}\cup \{\mathbb{N}\cup\{\pi\},\mathbb{N}\cup\{e\},\mathbb{N}\cup\{\pi,e\}\}$$ olmak üzere $$\mathbb{N}\cup\{\pi\}$$ ve $$\mathbb{N}\cup\{e\}$$ kümeleri $\tau$-kompakt olmalarına karşın (Neden?) bu kümelerin arakesiti olan

$$(\mathbb{N}\cup\{\pi\})\cap(\mathbb{N}\cup\{e\})=\mathbb{N}$$ kümesi $\tau$-kompakt değildir.(Neden?)