Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
502 kez görüntülendi

Sorunun Türkçesi şu: 

Yani bir topolojik uzayda kompakt ve kapalı kümelerden oluşan bir ailenin her altailesinin kesişimi yine kompakt ve kapalı olmak zorunda mıdır? Yani ilgili soruda koyulan $$\emptyset\neq\mathcal{B}$$ koşulu illa olmak zorunda mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 502 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Hayır. Bir topolojik uzayda kompakt ve kapalı kümelerden oluşan bir ailenin her altailesinin kesişimi yine kompakt ve kapalı olmak zorunda değildir. Örneğin $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayını ele alalım. Bu durumda 

$$\mathcal{A}:=\{A|(A, \ \mathcal{U}\text{-kompakt})(A, \ \mathcal{U}\text{-kapalı})\}=\{A|A, \  \mathcal{U}\text{-kapalı ve sınırlı} \}$$ olur.

$$\emptyset\subseteq \mathcal{A}$$ fakat boş ailenin kesişimi $$\bigcap\emptyset=\mathbb{R}$$ olup $\mathbb{R}, \ \mathcal{U}$-kompakt değildir. Dolayısıyla ilgili sorudaki $$\emptyset\neq \mathcal{B}$$ koşulu olmak zorundadır. Sonuç olarak sorudaki önerme yanlıştır.

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,055,249 kullanıcı