$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $$\mathcal{A}:=\{A|(A, \ \tau\text{-kompakt})(A, \ \tau\text{-kapalı})\}$$ olmak üzere $$``\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}\Rightarrow \cap\mathcal{B}\in\mathcal{A}"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Question

Sorunun Türkçesi şu: 

Yani bir topolojik uzayda kompakt ve kapalı kümelerden oluşan bir ailenin her altailesinin kesişimi yine kompakt ve kapalı olmak zorunda mıdır? Yani ilgili soruda koyulan $$\emptyset\neq\mathcal{B}$$ koşulu illa olmak zorunda mıdır? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

Hayır. Bir topolojik uzayda kompakt ve kapalı kümelerden oluşan bir ailenin her altailesinin kesişimi yine kompakt ve kapalı olmak zorunda değildir. Örneğin $(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayını ele alalım. Bu durumda 

$$\mathcal{A}:=\{A|(A, \ \mathcal{U}\text{-kompakt})(A, \ \mathcal{U}\text{-kapalı})\}=\{A|A, \  \mathcal{U}\text{-kapalı ve sınırlı} \}$$ olur.

$$\emptyset\subseteq \mathcal{A}$$ fakat boş ailenin kesişimi $$\bigcap\emptyset=\mathbb{R}$$ olup $\mathbb{R}, \ \mathcal{U}$-kompakt değildir. Dolayısıyla ilgili sorudaki $$\emptyset\neq \mathcal{B}$$ koşulu olmak zorundadır. Sonuç olarak sorudaki önerme yanlıştır.