$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $$\mathcal{A}:=\{A|(A, \ \tau\text{-kompakt})(A, \ \tau\text{-kapalı})\}$$ olmak üzere $$\emptyset\neq\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}\Rightarrow \cap\mathcal{B}\in\mathcal{A}$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani herhangi bir topolojik uzayda $\tau$-kompakt ve $\tau$-kapalı kümelerden oluşan ailenin boştan farklı her alt ailesinin arakesitinin $\tau$-kompakt olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\left.\begin{array}{rr} A\in \mathcal{B}\Rightarrow A, \ \tau\text{-kompakt}\Rightarrow (A,\tau_A), \ \text{kompakt uzay} \\ \\ \emptyset\neq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{A}\Rightarrow (\exists A)(A\in\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A})\Rightarrow (\cap\mathcal{B}\in \mathcal{C}(X,\tau))(\cap\mathcal{B}\subseteq A)\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow}\cap\mathcal{B}, \ \tau\text{-kompakt}.$

Not: Soru işaretinin gerekçesine buradaki linkten ulaşabilirsiniz.