Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
556 kez görüntülendi

Kompakt uzayların kapalı altkümelerinin kompakt olduğunu gösteriniz.

Not: $\mathcal{C}(X,\tau):=\{K|(K\subseteq X)(K, \,\ \tau\text{-kapalı})\}$

bir cevap ile ilgili: Homeomorfizmaya Dair-II
Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 556 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$(X,\tau)$ kompakt uzay$,$  $A\in \mathcal{C}(X,\tau),$  $\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $A\subseteq \cup\mathcal{A}$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} (\mathcal{A}\subseteq \tau)(A\subseteq \cup\mathcal{A}) \\ \\ A\in \mathcal{C}(X,\tau)\Rightarrow \setminus A\in \tau \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{r} (\mathcal{B}:=\mathcal{A}\cup\{\setminus A\}\subseteq \tau)(X=\cup \mathcal{B}) \\ \\(X,\tau), \text{ kompakt uzay} \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$ 


$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists \mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B})(|\mathcal{B}^*|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{B}^*) \\ \\ A\cap (\setminus A)=\emptyset \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(A\subseteq \cup \mathcal{A}^*)\Big{/} A, \ \tau\text{-kompakt}.$

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

http://matkafasi.com/108660/topolojik-uzaylarda-kompakt-arakesitinin-oldugunu-gosteriniz

İlgili linkteki teoremi düşündüğümüz zaman hocam  bunun bir sonuç olduğunu düşünüyorum.Çünkü $ A $ nın $X$ olma durumu da var.O halde verilen bu soruyu aşağıdaki gibi ispatlasak bir sıkıntı olur mu?

$(X,\tau),\text{ kompakt uzay} \Rightarrow \begin{array}{cc} \\ \\ \left.\begin{array}{rr}  X,\tau \text{-kompakt} \\ \\ A\in\mathcal{C}(X,\tau) \end{array}\right\} \Rightarrow X\cap A=A,\tau \text{-kompakt}. \end{array} $

Verdiğin linkteki teoremi daha önceden kanıtladıysan (biliyorsan) tabii ki bu şekilde yaptığın kanıt da doğru olur. Hatta buradaki teorem, ilgili linkte verdiğin teoremin direk sonucu olarak karşımıza çıkıyor.

20,239 soru
21,759 cevap
73,398 yorum
2,063,043 kullanıcı