$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere $$((X,\tau), \text{ kompakt})(A\in \mathcal{C}(X,\tau))$$$$\Rightarrow$$$$A, \,\ \tau\text{-kompakt} $$ olduğunu gösteriniz.

Question

Kompakt uzayların kapalı altkümelerinin kompakt olduğunu gösteriniz.

Not: $\mathcal{C}(X,\tau):=\{K|(K\subseteq X)(K, \,\ \tau\text{-kapalı})\}$

Answer 1

$(X,\tau)$ kompakt uzay$,$  $A\in \mathcal{C}(X,\tau),$  $\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $A\subseteq \cup\mathcal{A}$ olsun.

$\left.\begin{array}{r} (\mathcal{A}\subseteq \tau)(A\subseteq \cup\mathcal{A}) \\ \\ A\in \mathcal{C}(X,\tau)\Rightarrow \setminus A\in \tau \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{r} (\mathcal{B}:=\mathcal{A}\cup\{\setminus A\}\subseteq \tau)(X=\cup \mathcal{B}) \\ \\(X,\tau), \text{ kompakt uzay} \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$ 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists \mathcal{B}^*\subseteq \mathcal{B})(|\mathcal{B}^*|<\aleph_0)(X=\cup\mathcal{B}^*) \\ \\ A\cap (\setminus A)=\emptyset \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(A\subseteq \cup \mathcal{A}^*)\Big{/} A, \ \tau\text{-kompakt}.$

Comments

http://matkafasi.com/108660/topolojik-uzaylarda-kompakt-arakesitinin-oldugunu-gosteriniz

İlgili linkteki teoremi düşündüğümüz zaman hocam  bunun bir sonuç olduğunu düşünüyorum.Çünkü $ A $ nın $X$ olma durumu da var.O halde verilen bu soruyu aşağıdaki gibi ispatlasak bir sıkıntı olur mu?

$(X,\tau),\text{ kompakt uzay} \Rightarrow \begin{array}{cc} \\ \\ \left.\begin{array}{rr}  X,\tau \text{-kompakt} \\ \\ A\in\mathcal{C}(X,\tau) \end{array}\right\} \Rightarrow X\cap A=A,\tau \text{-kompakt}. \end{array} $

---

Verdiğin linkteki teoremi daha önceden kanıtladıysan (biliyorsan) tabii ki bu şekilde yaptığın kanıt da doğru olur. Hatta buradaki teorem, ilgili linkte verdiğin teoremin direk sonucu olarak karşımıza çıkıyor.