$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{A}:=\{A|A, \ \tau\text{-kompakt}\}$ olmak üzere $$(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{B}|<\aleph_0)\Rightarrow \cup\mathcal{B}\in\mathcal{A}$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Yani herhangi bir topolojik uzayda sonlu sayıdaki kompakt kümenin birleşiminin yine bir kompakt küme olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathcal{S}\subseteq \tau$ ve $\cup\mathcal{B}\subseteq \cup\mathcal{S}$ yani $\mathcal{S}$ ailesi,  $\cup\mathcal{B}$ kümesinin bir $\tau$-açık örtüsü olsun.

$\left.\begin{array}{r} (\mathcal{S}\subseteq\tau)(\cup\mathcal{B}\subseteq \cup\mathcal{S}) \\  \\ B\in\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A} \end{array} \right\}\Rightarrow (B\in\mathcal{A})(\mathcal{S}\subseteq\tau)(B\subseteq\cup \mathcal{B} \subseteq \cup \mathcal{S} )$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists\mathcal{S}^*_B\subseteq \mathcal{S})(|\mathcal{S}^*_B|<\aleph_0)(B\subseteq \bigcup \mathcal{S}^*_B)  \\  \\ (|\mathcal{B}|<\aleph_0)(\mathcal{S}^*:=\bigcup_{B\in\mathcal{B}}  \mathcal{S}^*_B) \end{array}\right\}\Rightarrow (\mathcal{S}^*\subseteq \mathcal{S})(|\mathcal{S}^*|\overset{?}{<}\aleph_0)(\cup\mathcal{B} \subseteq \cup\mathcal{S}^*).$

Not: Soru işaretinin gerekçesine buradan ulaşabilirsiniz.