$x^2-x+1$ hangi sonlu cisimlerde indirgenir

Question

$p$ asal bir sayi ve $\mathbb F_p$ sonlu bir cisim olsun. Hangi asal $p$'ler icin $x^2-x+1$ polinomu $\mathbb F_p$'de indirgenir.

ilgili sorular:
1) x^2+x+1'in indirgenemezligi
2) 6k+1 formundaki asallar

Comments

Öğrenmek için soruyorum, zaten $p=n$ için polinom indirgenemezse, $p>n$ için de öyle değil midir?

---

Soruyu tam anlamadim ama: $x^2+x+1$ polinomu $F_4$'de indirgenir, fakat $F_8$ ve $F_2$ icin indirgenemez. 

$n$ dedigin burda nedir? yani cisimlerden bahsettigimiz icin bir asal kuvvetiyle calismamiz lazim. $1.$ ilgili soru da yardimci olabilir.

---

$\Bbb{Z}_{3}$ te $x^2-x+1=(x+1)^2$ , $\Bbb{Z}_{13}$ te $x^2-x+1=(x+9)(x+3)$ gibi. Genel durum için $p$ yi bulmak zor!

---

$x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$

---

$x^2-x+1$ polinomunun gözüktüğü polinomlarımı arıyoruz. bu son yorum nedir? anlamadım.

---

$\alpha$ eger $x^2-x+1$'in koku ise $x^6-1$'in de koku olmak zorunda.

---

Peki $x^6-1$ polinomu ile uğraşmak daha mı kolay? yani $\alpha^6-1$ i bölen asalları mı arıyoruz?

---

ilgili soru 1'deki cevaba yonlendireyim sizi o zaman. Orda daha anlasilir.

---

yani $6k+1$ formundaki asallar nelerdir? neyse kendi imkanlarımla iki cisim bulmuşum hemde doğru şekilde!

---

Demek istediğim $\mathbb{F_2}$ de indirgenemez olan her polinom zaten $\mathbb{F_q}$ ($q>2$) da indirgenemez değil midir? Değilmiş sanırım.

---

Evet doğru düşünüyorsunuz. $x^2+x+1$ $\Bbb{Z}_{2}$ de indirgenmez çünkü kök yok (derecesi 2),
ancak aynı polinom $\Bbb{Z}_{3}$ te indirgenir çünkü kök var.

Answer 1

Indirgenir olsun diyelim. $\alpha$ bu polinomum koku ise eger $\alpha \in \mathbb F_p$ olmalidir.

 $x^2-x+1|x^6-1$ ve ayrica bu polinom $6.$ siklotomik polinom. Simdi $x^2-x+1|(x^{p-1}-1,x^6-1)=x^{(p-1,6)}-1$. 

Burdan cozum bulunabilir. En azindan ilgili soru icin $(p-1,6)=1,2$ olamaz diyeyim.

Answer 2

Baska bir cozum:

$P(x)$ indirgenirdir ancak ve ancak $P(-x)$ indirgenirdir. Dolayisiyla $$(-x)^2-(-x)+1=x^2+x+1$$ polinomunun indigenmezligi ile ilgilenebiliriz.

Bu sorunun cevabi da baglantisi verilen sorulardan birinde var.