İkinci (ya da üçüncü) dereceden bir polinom için indirgenemezlikle kökü olmamak eşdeğerdir.
Eğer karakteristik 3 ise, 1, denklemin bir çözümüdür, dolayısıyla polinom indirgenemez olamaz. Bundan böyle karakteristik 3 olmasın. Dolayısıyla 1 denklemin bir kökü değildir. Bakalım denklemin başka kökü var mı?
(x2+x+1)(x−1)=x3−1 olduğundan, x2+x+1=0⟺(x3=1∧x≠1). Demek ki x3=1 denkleminin 1'den farklı çözümünün olup olmadığına bakmalıyız; bu çözümler (varsa) elbette F∗p çarpımsal grubunun derecesi (mertebesi) 3 olan elemanlarıdır. Yani x2+x+1=0 denkleminin Fp cisminde bir çözümü olması için 3'ün F∗p grubunun eleman sayısını yani p−1'i bölmesi lazımdır. Bu da bir k için p=3k+1 demektir. Diğer durumlarda, yani p=3k+2 durumlarında, denklemin çözümü yoktur, dolayısıyla polinom indirgenemezdir.