$p$ asal bir sayi ve $\mathbb F_p$ sonlu bir cisim olsun. Hangi asal $p$'ler icin $x^2-x+1$ polinomu $\mathbb F_p$'de indirgenir.ilgili sorular:1) x^2+x+1'in indirgenemezligi2) 6k+1 formundaki asallar
Öğrenmek için soruyorum, zaten $p=n $ için polinom indirgenemezse, $p>n$ için de öyle değil midir?
Soruyu tam anlamadim ama: $x^2+x+1$ polinomu $F_4$'de indirgenir, fakat $F_8$ ve $F_2$ icin indirgenemez. $n$ dedigin burda nedir? yani cisimlerden bahsettigimiz icin bir asal kuvvetiyle calismamiz lazim. $1.$ ilgili soru da yardimci olabilir.
$x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)$
$\alpha$ eger $x^2-x+1$'in koku ise $x^6-1$'in de koku olmak zorunda.
Demek istediğim $\mathbb{F_2}$ de indirgenemez olan her polinom zaten $\mathbb{F_q}$ ($q>2$) da indirgenemez değil midir? Değilmiş sanırım.
Indirgenir olsun diyelim. $\alpha$ bu polinomum koku ise eger $\alpha \in \mathbb F_p$ olmalidir. $x^2-x+1|x^6-1$ ve ayrica bu polinom $6.$ siklotomik polinom. Simdi $x^2-x+1|(x^{p-1}-1,x^6-1)=x^{(p-1,6)}-1$. Burdan cozum bulunabilir. En azindan ilgili soru icin $(p-1,6)=1,2$ olamaz diyeyim.
Baska bir cozum:$P(x)$ indirgenirdir ancak ve ancak $P(-x)$ indirgenirdir. Dolayisiyla $$(-x)^2-(-x)+1=x^2+x+1$$ polinomunun indigenmezligi ile ilgilenebiliriz.Bu sorunun cevabi da baglantisi verilen sorulardan birinde var.