Sonlu olmayan cisimlerde tum elemanlari sifira goturen fonksiyon.

Question

$K$ sonlu olmayan bir cisim olsun. $f$ bu cisim uzerinde $n$ degiskenli bir polinom olmak uzere ($f(x_1,x_2,...,x_n) \in K[x_1,x_2,...,x_n]$). Tum $a_1,a_2..a_n \in K$ icin $f(a_1,a_2,...,a_n)=0$ ise $f=0$ oldugunu gosteriniz.

Sonlu cisimlerde bu saglanmaz, ornegin $\mathbb{F}_2$'de $x^2+x$ ikinci dereceden bir polinom ama goruntusu $0$.

Answer 1

Şunu ispatlamak yeterlidir. 

Sabit olmayan her polinomun 0 değeri almadığı bir nokta vardır.

Tümevarımla:

1. $n=1$ için cisim sonlu olmadığından kolay.

2  $n-1$ için önerme doğru olsun.  $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ sabit olmayan  bir polinom olsun. Bu polinomda, (kısaltmalar yapıldıktan sonra) $x_i$ lerden en az biri bulunacaktır. $i=1$ varsayabiliriz. ($k>0$) $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1^kg(x_2,\ldots,x_n)+\cdots$ (başka $x_1^k$ terimi yok) olsun.  Tümevarım hipotezinden, $g\neq0$ olduğu için $g(a_2,a_3,\dots,a_n)\neq0$ o. ş. sayılar vardır. $h(x_1)=f(x_1,a_2,\ldots,a_n)$ bir değişkenli sıfırdan farklı bir polinom olduğundan ve cisim sonlu olmadığından $h(a_1)\neq0$ o. ş. $a_1$ sayısı vardır. $f(a_1,a_2,\ldots)=h(a_1)\neq0$ olur.

Comments

Guzel cozum olmus, aklima ilk duzden geldigi, ayni metodla cevaba gittiginden, ters hali gelmemisti. Tesekkur ederim. Kimse onu eklemezse ilerde ben eklerim.