Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
561 kez görüntülendi

$K$ sonlu olmayan bir cisim olsun. $f$ bu cisim uzerinde $n$ degiskenli bir polinom olmak uzere ($f(x_1,x_2,...,x_n) \in K[x_1,x_2,...,x_n]$). Tum $a_1,a_2..a_n \in K$ icin $f(a_1,a_2,...,a_n)=0$ ise $f=0$ oldugunu gosteriniz.

Sonlu cisimlerde bu saglanmaz, ornegin $\mathbb{F}_2$'de $x^2+x$ ikinci dereceden bir polinom ama goruntusu $0$.

Lisans Matematik kategorisinde (25.4k puan) tarafından  | 561 kez görüntülendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Şunu ispatlamak yeterlidir. 

Sabit olmayan her polinomun 0 değeri almadığı bir nokta vardır.

Tümevarımla:

1. $n=1$ için cisim sonlu olmadığından kolay.

2  $n-1$ için önerme doğru olsun.  $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ sabit olmayan  bir polinom olsun. Bu polinomda, (kısaltmalar yapıldıktan sonra) $x_i$ lerden en az biri bulunacaktır. $i=1$ varsayabiliriz. ($k>0$) $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1^kg(x_2,\ldots,x_n)+\cdots$ (başka $x_1^k$ terimi yok) olsun.  Tümevarım hipotezinden, $g\neq0$ olduğu için $g(a_2,a_3,\dots,a_n)\neq0$ o. ş. sayılar vardır. $h(x_1)=f(x_1,a_2,\ldots,a_n)$ bir değişkenli sıfırdan farklı bir polinom olduğundan ve cisim sonlu olmadığından $h(a_1)\neq0$ o. ş. $a_1$ sayısı vardır. $f(a_1,a_2,\ldots)=h(a_1)\neq0$ olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Guzel cozum olmus, aklima ilk duzden geldigi, ayni metodla cevaba gittiginden, ters hali gelmemisti. Tesekkur ederim. Kimse onu eklemezse ilerde ben eklerim.

20,239 soru
21,759 cevap
73,398 yorum
2,062,973 kullanıcı